第03讲 幂函数（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第03讲 幂函数 【学习目标】 1、 了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式. 2、 结合幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x的图象，掌握它们的性质. 3、 能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小． 【知识结构】 【考点总结】 一、幂函数的概念 (1)概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)特征 特征 只有同时满足这三个特征的函数才是幂函数．对于形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5……等形式的函数都不是幂函数． 二、幂函数的图象与性质 (1)幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x－1的图象． (2)幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，，y＝x－1的性质． y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 图象 定义 域 R R R [0，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞) 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0) (0，＋∞) 奇偶 性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非 偶函数 奇函数 单调 性 在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在(－∞，0] 上单调递减， 在(0，＋∞) 上单调递增 在(－∞， ＋∞)上单 调递增 在[0，＋∞) 上单调递增 在(－∞，0) 上单调递减，在(0，＋∞) 上单调递减 定点 (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1)，(0,0) (1,1) (3)幂函数y＝xα在第一象限的特征 α的范围 过定点 单调性 α＞0 α＞1 (0,0)， (1,1) 下凸递增 0＜α＜1 上凸递增 α＜0 (1,1) 递减，且以两坐标轴为渐近线 三、利用待定系数法求幂函数的解析式及函数值 幂函数的解析式y＝xα中仅含有一个常数α，则只需要一个条件即可确定幂函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)＝n或图象过点(m，n)等等．通常利用待定系数法求解，设出幂函数的解析式为f(x)＝xα，利用已知条件列方程求出常数α的值． 四、与幂函数有关的简单不等式 (1)与幂函数有关的不等式往往是[f(x)]α＞[g(x)]α，通常利用幂函数y＝xα的定义域和单调性，转化为关于f(x)和g(x)的不等式组． 例如，解不等式， 由于幂函数是[0，＋∞)上的增函数，则原不等式等价于 解得－1≤x≤， 所以原不等式的解集是． 解不等式的过程中，不能忽视幂函数的定义域，否则容易出错．如上例中，易忽视幂函数的定义域是[0，＋∞)，错得x≤． (2)解与幂函数有关的不等式也可以结合幂函数的图象，数形结合进行求解． 【例题解析】 题型一　幂函数的概念 【例1】　(1)在函数y＝x－2，y＝2x2，y＝(x＋1)2，y＝3x中，幂函数的个数为(　　) A．0　　　 B．1　　　 C．2　　 D．3 (2)若f(x)＝(m2－4m－4)xm是幂函数，则m＝________. 解析　(1)根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B． (2)因为f(x)是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1. 答案　(1)B　(2)5或－1 规律方法　判断函数为幂函数的方法 (1)只有形如y＝xα(其中α为任意实数，x为自变量)的函数才是幂函数，否则就不是幂函数． (2)判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，函数的解析式为一个幂的形式，且：①指数为常数，②底数为自变量，③底数系数为1.形如y＝(3x)α，y＝2xα，y＝xα＋5…形式的函数都不是幂函数．反过来，若一个函数为幂函数，则该函数也必具有这一形式． 【变式】若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝3f(2)，则f的值等于________． 解析　设f(x)＝xα，因为f(4)＝3f(2)，∴4α＝3×2α，解得：α＝log23， ∴f＝log23＝. 答案　 题型二　幂函数的图象及应用 【例2】　(1)如图所示，图中的曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的n依次为(　　) A．－2，－，，2 B．2，，－，－2 C．－，－2,2， D．2，，－2，－ (2)点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问当x为何值时，分别有：①f(x)>g(x)； ②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)． (1)解析　根据幂函数y＝xn的性质，在第一象限内的图象当n>0时，n越大，y＝xn递增速度越快，故C1的n＝2，C2的n＝；当n<0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n＝－，曲线C4的n＝－2，故选B． 答案　B (2)解　设f(x)＝xα，g