6.4.1 平面几何中的向量方法-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评课件（人教A版）

独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 6．4　平面向量的应用 6．4.1　平面几何中的向量方法 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 向量是数学中证明几何命题的有效工具之一．在证明几何命题时，可先把已知条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算就很容易得出结论．一般地，利用实数与向量的积可以解决共线、平行、长度等问题，利用向量的数量积可解决长度、角度、垂直等问题． 向量的坐标表示把点与数联系了起来，这样就可以用代数方程研究几何问题，同时也可以用向量来研究某些代数问题． 向量的数量积体现了向量的长度与三角函数间的关系，把向量的数量积应用到三角形中，就能解决三角形的边角之间的有关问题． 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 1．会用向量的方法解决简单的平面几何问题，体会向量的作用． 2．培养学生直观想象、逻辑推理、数学运算的学科素养．　　　　 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 独立 思考 自主学习区 [自主预习] 向量在平面几何中的应用 1．平面几何中的许多问题：如线段长度(距离)、夹角、平行、垂直、点共线等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来． (1)要证明两线段AB＝CD.可转化为__________________________； (2)要证明两线段AB∥CD，可转化为证明：存在一实数λ≠0，使_________________成立； 证明：eq \o(AB,\s\up15(→))2＝eq \o(CD,\s\up15(→))2 eq \o(AB,\s\up15(→))＝λeq \o(CD,\s\up15(→)) 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 (3)要证明两线段AB⊥CD，可转化为证明：eq \o(AB,\s\up15(→))·eq \o(CD,\s\up15(→))＝0. (4)要证A、B、C三点共线，可转化为证明：存在一实数λ≠0，使eq \o(AB,\s\up15(→))＝λeq \o(AC,\s\up15(→))；或若eq \o(OA,\s\up15(→))＝a，eq \o(OB,\s\up15(→))＝b，eq \o(OC,\s\up15(→))＝c，则只要证明存在一个实数t，使____________________． c＝ta＋(1－t)b 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 2．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 [独立思考] 1．证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？ 提示：可用向量共线的相关知识： a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)． 2．证明垂直问题，可用向量的哪些知识？ 提示：可用向量垂直的相关知识： a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 合作 交流 探究学习区 　确定点的坐标(位置) eq \a\vs4\al([小组探究]) (教材P37综合运用改编)已知A(2，3)，B(4，－3)，点P在线段AB上，且|eq \o(AP,\s\up15(→))|＝eq \f(3,2)|eq \o(PB,\s\up15(→))|，求点P的坐标． 结论：Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,5)，－\f(3,5))). 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 eq \a\vs4\al([互动探究]) 　如图，A(0，5)，O(0，0)，B(4，3)，eq \o(OC,\s\up15(→))＝eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up15(→))，eq \o(OD,\s\up15(→))＝eq \f(1,2) eq \o(OB,\s\up15(→))，AD与BC相交于点M. 求点M的坐标． 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 【解】　∵eq \o(OC,\s\up15(→))＝eq \f(1,4) eq \o(OA,\s\up15(→))＝eq \f(1,4)(0，5)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4)))，∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5,4))). ∵eq