6.2.4 第一课时 向量的数量积与夹角-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评课件（人教A版）

独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 6．2.4　向量的数量积 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ，其中θ是F与s的夹角，由于力F和位移s是向量，那么功可否看作两个向量F和s的“相乘”结果呢？ 1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．能用数量积表示两个向量的夹角，掌握运算规律． 4．通过实例，培养直观想象，数学运算的学科素养．　　　 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 第一课时　向量的数量积与夹角 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 独立 思考 自主学习区 0 π [自主预习] 1．向量数量积的定义 (1)向量的夹角：已知两个非零向量a，b(如图)，O是平面上的任意一点，作eq \o(OA,\s\up15(→))＝a，eq \o(OB,\s\up15(→))＝b，则___________________________ 叫做向量a与b的夹角． 显然，当θ＝___________时，a与b同向；当θ＝___________时，a与b反向． ∠AOB＝θ(0≤θ≤π) 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 垂直 0 如果a与b的夹角是___________，我们说a与b ___________，记作___________． (2)向量的数量积：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量___________叫做向量a与b的数量积(或内积(inner product))，记作___________，即a·b＝___________． 规定：零向量与任一向量的数量积为___________． eq \f(π,2) a⊥b |a||b|cos θ a·b |a||b|cosθ 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 (3)投影向量：设a，b是两个非零向量(如图(1))，eq \o(AB,\s\up15(→))＝a，eq \o(CD,\s\up15(→))＝b，我们考虑如下的变换：过eq \o(AB,\s\up15(→))的起点A和终点B，分别作eq \o(CD,\s\up15(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq \o(A1B1,\s\up15(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)， ___________叫做向量a在向量b上的投影向量． 　 (1)　　　　　　　(2) eq \o(A1B1,\s\up15(→)) 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 在平面内任取一点O，作eq \o(OM,\s\up15(→))＝a，eq \o(ON,\s\up15(→))＝b(如图(2))．过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则eq \o(OM1,\s\up15(→))就是向量a在向量b上的投影向量． 设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，那么对于任意的θ∈[0，π]，都有eq \o(OM1,\s\up15(→))＝___________． |a|cosθ e 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 [独立思考] 1．向量的线性运算与数量积有什么区别． 提示：向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关． 2．向量的夹角和三角形的内角相同吗？ 提示：不同，二者在定义上是不同的．如在△ABC中，eq \o(AB,\s\up15(→))与eq \o(AC,\s\up15(→))的夹角为角A，但eq \o(AB,\s\up15(→))与eq \o(BC,\s\up15(→))的夹角为π－B. 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 合作 交流 探究学习区 　求两向量的数量积 eq \a\vs4\al([小组探究]) 在边长为2的正三角形中，eq \o(AB,\s\up15(→))·eq \o(AC,\s\up15(→))，eq \o(AB,\s\up15(→))·eq \o(BC,\s\up15(→))各是多少？ 结论：eq \o(AB,\s\up15(→))·eq \o(AC,\s\up15(→))＝2，eq \o(AB,\s\up15(→))·eq \o(BC,\s\up15(→))＝－2. 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 eq \a\vs4\al([互动探究])