6.2.4 第二课时 向量数量积的运算-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评课件（人教A版）

独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 第二课时　向量数量积的运算 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 独立 思考 自主学习区 [自主预习] 1．向量数量积的性质 设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e＝e·a＝___________ . (2)a⊥b⇔ ___________． |a|cosθ a·b＝0 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 (3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝___________．特别地，a·a＝|a|2或|a|＝eq \r(a·a). 此外，由|cos θ|≤1还可以得到 (4)|a·b|≤___________． －|a||b| |a||b| 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 2．数量积的运算律 (1)对于向量a，b，c和实数λ，有 ①a·b＝b·a； ②(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； ③(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 (2)类比多项式的乘法公式与向量数量积的乘法公式. 多项式乘法 向量数量积 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2a·b＋b2 (a＋b)(a－b)＝a2－b2 (a＋b)·(a－b)＝a2－b2 (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋ c2＋2ab＋2bc＋2ca (a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋ 2a·b＋2b·c＋2c·a 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 [独立思考] 1．如果a·b＝0，是否有a＝0，或b＝0? 提示：不一定，当a与b的夹角为eq \f(π,2)时，也有a·b＝0. 2．(1)若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，能得到a＝b吗？ 提示：不能，向量的数量积不满足消去律． (2)(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？ 提示：不一定，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a·b)·c与向量c共线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一般情况下不成立． 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 合作 交流 探究学习区 　利用数量积的性质与规律计算数量积 eq \a\vs4\al([小组探究]) 给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________． 结论：④ 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 eq \a\vs4\al([互动探究]) 　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：①a·2b；②(a＋b)·(a－2b)；③(a＋b)2·(a－b)·a. 【解】　①a·2b＝2(a·b)＝2×|a||b|cos 120°＝2×4×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－8. ②(a＋b)·(a－2b)＝a2－a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12. ③∵(a＋b)2·(a－b)＝(|a|2＋2a·b＋|b|2)(a－b)＝(16－8＋4)(a－b)＝12(a－b)． ∴原式＝12(a－b)·a＝12(|a|2－a·b)＝12×(16＋4)＝240. 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 eq \a\vs4\al() 向量数量积的求法 (1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准确求出两向量的夹角是求数量积的关键． (2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．　　 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 eq \a\vs4\al([合作交流]) 1．已知|a|＝2，|b|＝3，a与b的夹角θ为60°，求：①a·b；②(2a－b)·(a＋3b)；③|a－b|. 解：①a·b＝|a||b|cos θ＝2×3×cos 60°＝3. ②(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5a·b－3|b|2＝2×22＋5×3－3×3