6.2.3.向量的数乘运算-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评课件（人教A版）

独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 6．2.3　向量的数乘运算 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 已知非零向量a，作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a)．它们的长度和方向分别是怎样的？ 1．通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义． 2．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 3．通过实例，用向量解决一些几何问题，培养数学知识的运用，体会向量的工具性，培养数学运算、直观想象的学科素养． 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 独立 思考 自主学习区 向量 λa [自主预习] 1．向量数乘的定义 一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个___________，这种运算叫做向量的数乘(multiplication of vector by scalar)，记作___________，它的长度与方向规定如下： (1)|λa|＝___________； |λ||a| 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 相同 相反 0 (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向___________；当λ＜0时，λa的方向与a的方向___________． 由(1)可知，当λ＝0时，λa＝___________． 由(1)(2)可知，(－1)a＝－a. 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 2．向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 (1)λ(μa)＝___________； (2)(λ＋μ)a＝___________； (3)λ(a＋b)＝___________． 特别地，我们有 (－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)， λ(a－b)＝λa－λb. (λμ)a λa＋μa λa＋λb 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 向量 3．向量的线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．向量线性运算的结果仍是___________．对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝___________． 4．向量的共线定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是： _____________________________． λμ1a±λμ2b 存在唯一一个实数λ，使b＝λa 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 [独立思考] 1．设λ为实数，a为向量，λ＋a，λ－a有意义吗？ 提示：无意义． 2．对于非零向量a，当λ＝eq \f(1,|a|)时，λa表示什么意义？ 提示：表示a方向上的单位向量． 3．设非零向量a位于直线l上，那么对于直线l上的任意一个向量b，如何用a表示？ 提示：存在唯一的一个实数λ，使b＝λa. 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 合作 交流 探究学习区 　向量的线性运算 eq \a\vs4\al([小组探究]) 如果把非零向量a的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量b，向量b该如何表示？向量a，b之间的关系怎样？a＋b如何表示？ 结论：b＝3.5a，a∥b，a＋b＝3.5 a＋a＝4.5 a. 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 eq \a\vs4\al([互动探究]) 　化简下列各式： (1)3(6a＋b)－9eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,3)b))； (2)eq \f(1,2) eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(（3a＋2b）－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))))－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)a＋\f(3,8)b))； (3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a. 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·评价学习区 课时作业·规范训练 【解】　(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a. (2)原式＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2a＋\f(3,2)b))－a－eq \f(3,4)b＝a＋eq \f(3,4)b－a－eq \f(3,4)b＝0. (3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c. 独立思考·自主学习区 合作交流·探究学习区 提升素养·