第六章 平面向量及其应用 章末总结6-【高考领航】2021-2022学年新教材高中数学必修第二册同步核心辅导与测评课件（人教A版）

知识结构 知识拓展 章末总结 知识结构 知识拓展 知识 结构 一、本章知识结构 知识结构 知识拓展 知识 拓展 拓展一　向量线性运算的作图 平面向量的线性运算包括加法、减法及数乘．而向量的运算，是“带方向的量的运算”，这里，如何对方向进行运算是核心问题． (1)向量加法的三角形法则：是“位移的合成”的几何体现，解释了两个方向之和，体现了“三角形回路：eq \o(AB,\s\up15(→))＋eq \o(BC,\s\up15(→))＝eq \o(AC,\s\up15(→))”． (2)向量加法的平行四边形法则：是“力的合成”的平行四边形法则． 知识结构 知识拓展 (3)数乘运算：λa是类比数a的整数倍的意义． ①k(a＋b)＝ka＋kb是“相似三角形对应边的比等于相似比”的代数化形式． ②λa与a共线是数轴概念的拓展． 如果设e是与数轴Ox的方向相同的单位向量，数轴上任意一点P的坐标为x，那么eq \o(OP,\s\up15(→))＝xe；反之也正确． (4)平面向量基本定理是平面向量线性运算的综合运用，其基本手段是作图，利用平面几何性质，体现直观想象、数学运算的学科素养． 知识结构 知识拓展 角度1　向量a、b共线时的作图 　如图，已知共线向量a、b，求作a＋b. (1)a、b同向； (2)a、b反向，且|a|＞|b|； (3)a、b反向，且|a|＜|b|. 知识结构 知识拓展 【作法】　在与a平行的同一条直线上作出三个向量eq \o(OA,\s\up15(→))＝a，eq \o(AB,\s\up15(→))＝b，eq \o(OB,\s\up15(→))＝a＋b，具体作法是：当a与b方向相同时，a＋b与a、b的方向相同，长度为|a|＋|b|；当a与b的方向相反时，a＋b与a、b中长度长的向量方向相同，长度为||a|－|b||.为了直观，将三个向量中绝对值最大的向量沿与a垂直的方向稍加平移，然后分别标上a，b，a＋b.作图如下： 知识结构 知识拓展 　如图，已知共线向量a、b，求作a－b. (1)a、b同向，且|a|＞|b|； (2)a、b同向，且|a|＜|b|； (3)a、b反向． 知识结构 知识拓展 【作法】　在平面上任取一点O，作eq \o(OA,\s\up15(→))＝a，eq \o(OB,\s\up15(→))＝b，则eq \o(BA,\s\up15(→))＝a－b.事实上a－b可看作是a＋(－b)，按照这个理解和a＋b的作图方法不难作出a－b，作图如下： 知识结构 知识拓展 【思考】　分清两个向量的起点与终点及方向，作图时明白是从同一个起点作还是首尾相接，将三角形法则，平行四边形法则“直线化”． 知识结构 知识拓展 角度2　向量a、b不共线时的作图 　已知eq \o(OB,\s\up15(→))＝λeq \o(OA,\s\up15(→))＋μeq \o(OC,\s\up15(→))，其中λ＋μ＝1.求证：A、B、C三点共线． 【证明】　如图，由λ＋μ＝1得 λ＝1－μ， 则eq \o(OB,\s\up15(→))＝λeq \o(OA,\s\up15(→))＋μeq \o(OC,\s\up15(→))＝(1－μ)eq \o(OA,\s\up15(→))＋μeq \o(OC,\s\up15(→)). ∴eq \o(OB,\s\up15(→))－eq \o(OA,\s\up15(→))＝μ(eq \o(OC,\s\up15(→))－eq \o(OA,\s\up15(→)))， ∴eq \o(AB,\s\up15(→))＝μeq \o(AC,\s\up15(→))， ∴A、B、C三点共线． 知识结构 知识拓展 【思考】　1.此题揭示了证明三点共线的又一向量方法，点O具有灵活性；体现平面向量基本定理的应用及三角形法则：eq \o(OB,\s\up15(→))－eq \o(OA,\s\up15(→))＝eq \o(AB,\s\up15(→))，eq \o(OC,\s\up15(→))－eq \o(OA,\s\up15(→))＝eq \o(AC,\s\up15(→)). 2．反之也成立(证明略)：若A、B、C三点共线，则存在唯一实数对λ、μ，满足eq \o(OB,\s\up15(→))＝λeq \o(OA,\s\up15(→))＋μeq \o(OC,\s\up15(→))，且λ＋μ＝1.揭示了三点共线的又一个性质． 3．特别地，λ＝μ＝eq \f(1,2)时，eq \o(OB,\s\up15(→))＝eq \f(1,2)(eq \o(OA,\s\up15(→))＋eq \o(OC,\s\up15(→)))，点B为eq \o(AC,\s\up15(→))的中点，揭示了△OAC中线OB的一个向量公式，应用广泛． 知识结构 知识拓展