21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-2021-2022学年九年级数学初三上册【七彩课堂】同步教学课件（人教版）

21.2 解一元二次方程 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 人教版 数学 九年级 上册 21.2 解一元二次方程/ 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 【想一想】方程的两根x1和x2与系数a、b、c还有其他关系吗？ 2. 如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0). b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 导入新知 21.2 解一元二次方程/ 素养目标 1.探索一元二次方程的根与系数的关系. 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题. 3.让学生体会从特殊到一般的科学探究过程. 21.2 解一元二次方程/ 3 填表，观察、猜想 方程 x1, x2 x1+ x2 x1. x2 x2-2x+1=0 x2+3x-10=0 x2+5x +4=0 【思考】你发现什么规律？ ①用语言叙述你发现的规律； ② x2+px+q=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律. 探究新知 根与系数的关系 知识点 1 1,1 2 1 2,-5 -3 -10 -1,-4 -5 4 21.2 解一元二次方程/ （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0,且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数）的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 探究新知 【猜一猜】 21.2 解一元二次方程/ 如果关于x的方程 的两根是x1 , x2 ,则: 如果方程二次项系数不为1呢? x1+x2=-p，x1·x2=q 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 方 程 x1, x2 x1+ x2 x1 .x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律. ①用语言叙述发现的规律； ② ax2+bx+c=0的两根x1,, x2用式子表示你发现的规律. 探究新知 ，1 ，2 -1 21.2 解一元二次方程/ 一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 , 那么x1+x2= , x1x2= （韦达定理） 【注意】能用根与系数的关系的前提条件为b2-4ac≥0. 常数项 探究新知 一次项系数 二次项系数 注意系数符号. 学生活动：请同学用求根公式证明. 21.2 解一元二次方程/ 例1 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. 一元二次方程的根与系数的关系的应用 素养考点 1 探究新知 21.2 解一元二次方程/ （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . 探究新知 21.2 解一元二次方程/ 不解方程，求方程两根的和与两根的积： ①x2+3x-1=0 ② 2x2-4x+1=0 解：① ② 原方程可化为： 二次项不是1，可以先把它化为1 巩固练习 21.2 解一元二次方程/ 例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1,x2，其中x1=2 . 所以：x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=－7. 答：方程的另一个根是 ，k=－7. 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围 素养考点 2 探究新知 想一想，还有没有别的做法？ 21.2 解一元二次方程/ 已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,求它的另一个根及k的值. 解： 设方程的另一个根为x1.