专题55 割补法与等积变换求解体积问题-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题55 割补法与等积变换求解体积问题 【方法点拨】 1. 利用等积变换求解三棱锥的体积问题，归根结底就是“换顶点（或换底面）”，换顶点的常用方法有二.一是直接换，即从四个顶点选择一个点作为顶点，选择的基本原则是点面距易求，如出现线面垂直等；二是利用线面平行更换顶点，由于该直线上任意一点到平面的距离均相等，换完后依然是便于求出点面距.当然，有时还会遇到利用与平面相交的直线上的点换顶点等不一而足. 2. 利用求体积可以求点面距，其数学方法是“算两次”. 【典型题示例】 例1 在正方体中，动点E在棱上，动点F在线段上，O为底面ABCD的中心，若，，则四面体的体积     A. 与x，y都有关 B. 与x，y都无关 C. 与x有关，与y无关 D. 与y有关，与x无关 【答案】B 【分析】利用线面平行换顶点，化动为静. 【解析】易知，平面，故四面体即四面体与四面体同底等高，即 同理，平面，故四面体即四面体与四面体同底等高，即 所以，故与x，y都无关. 例2 如图所示，在多面体中，已知四边形是边长为的正方形，且、均为正三角形，，，则该多面体的体积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将物体切割成一个三棱柱，两个三棱锥分别计算体积. 【解析】在上取点使，连接， 是边长为1的正方形，且、均为正三角形，， 所以四边形为等腰梯形，，， 根据等腰梯形性质，， 是平面内两条相交直线，是平面内两条相交直线， 所以平面，平面， ， 几何体体积为 ， 故选：A 例3 如图，在长方体中，，，则四棱锥的体积为 cm3. 【答案】 【解析】如图所示，连结交于点， 因为 平面，又因为，所以，， 所以四棱锥的高为， 根据题意，所以， 又因为，，故矩形的面积为， 从而四棱锥的体积. 例4 如下图，四棱锥中，平面， ，则点到平面的距离为 . 【答案】 【分析】先证明，而所求点到平面的距离，需利用“算两次”，求出三棱锥的体积即可. 【解析】因为平面,平面, 所以.由,得 又,平面,平面,所以平面, 因为平面,所以. 连结.设点到平面的距离为. 因为,,所以从而由, 得的面积.由平面及,得三棱锥 的体积因为平面平面, 所以,又,所以 由,,得的面积, 由,得 因此．点到平面的距离为 【巩