1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）

【选择性必修第一册】 1.3空间向量及其运算的坐标表示 （解析版） 提示：本卷题型为8（单选）+4（多选 ）+4（填空）+6（解答） 一、单选题 1．（2020·全国高二课时练习）已知空间四点 ， ， ， 共面，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求得 、 、 的坐标，根据题意可知存在实数 、 ，使得 ，利用空间向量的坐标运算可得出关于 、 、 的方程组，进而可求得实数 的值. 【详解】 依题意得 ， ， ， 、 、 、 四点共面， 、 、 共面， 存在实数 、 ，使得 ， 即 ，所以 ，解得 . 故选：D. 【点睛】 本题考查利用空间向量法处理四点共面的问题，考查计算能力，属于中等题. 2．（2020·江苏南京市·南京师大附中高一期末）如果三点 ， ， 在同一条直线上，则 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由三点共线可知 为共线向量，根据向量共线的坐标运算可构造方程求得结果. 【详解】 三点共线 为共线向量 又 ， ，解得： ， 本题正确选项： 【点睛】 本题考查利用共线向量解决三点共线的问题，关键是能够明确三点共线与共线向量之间的关系. 3．（2020·全国高二课时练习）如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝1，AA1＝3，已知向量a在基底{ }下的坐标为(2,1，－3)．若分别以 的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则a的空间直角坐标为(　　) A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3) C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9) 【答案】D 【分析】 将向量a根据坐标先用向量，，表示，再将，，表示为，，，即可得新坐标. 【详解】 a＝2＋－3＝2－－3＝8j－i－9k＝(－1,8，－9)． 答案：D． 【点睛】 本题主要考查了空间向量用不同的向量作基底的不同表示，涉及到了空间向量的线性运算，属于基础题. 4．（2021·河南南阳市·高二期末（理））已知空间向量 ， ，则下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 与 夹角的余弦值为 【答案】A 【分析】 类比平面向量的计算办法，判断两向量是否平行可得， ，故A错； 以及 ，故B正确；向量乘积为0即垂直，故C对； 用 可判断D对. 【详解】 因为 ， ，而 ，故A不正确； 因为 ， ，所以 ，故B正确； 因为 ，故C正确； 又 ，故D正确. 故选：A 5．（2021·福建泉州市·高二期末）若 ， ， ， ， ，则 的最小值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】C 【分析】 根据空间向量模的坐标表示，由题中条件，得到 ，推出 ，配方整理，即可求出最小值. 【详解】 因为 ， ， ， ， ， 所以 ，则 ，即 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 当且仅当 ，即 时， 取得最小值 ，则 的最小值为 . 故选：C. 【点睛】 关键点点睛： 求解本题的关键在于利用空间向量模的坐标表示，用 表示出 ，即 ，配方整理，即可求解. 6．（2021·全国高二课时练习）已知 ， ，若 ， ，且 平面 ，则实数 、 、 分别为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 利用数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理即可得出． 【详解】 ∵ ⊥ ， ∴ ， 解得 ． ∴ ． ∵ 平面 ， ∴ ， ， ∴ ， 化为 ， 解得 ， ∴ ． 故选：B． 【点睛】 本题考查了数量积与垂直的关系、线面垂直的性质定理，属于中档题． 7．（2021·浙江高二单元测试）已知空间直角坐标系 中， ， ， ，点 在直线 上运动，则当 取得最小值时，点 的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设 ，根据点 在直线 上，求得 ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得 时， 取得最小值，即可求解. 【详解】 设 ， 由点 在直线 上，可得存在实数 使得 ， 即 ，可得 , 所以 , 则 ， 根据二次函数的性质，可得当 时，取得最小值 ，此时 . 故选：C. 【点睛】 本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于 的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力. 8．（2019·浙江省杭州第二中学高三月考）已知长方体 中， ， ， ，空间中存在一动点 满足 ，记 ， ， ，则（ ）. A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得 C．对任意的点 ，有 D．对任意的点 ，有 【答案】C 【分析】 建立空间直角坐标系，由题意可得各顶点的坐标，由 ，设 的坐标为 ，可得 、 、 的取值范围都为 ，求出数量积，由 的坐标的范围可得答案． 【详解】 以 为 轴， 为 轴， 为