专题09 三角形-2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题09 三角形 课程要求 《初中课程要求》 四心的概念与常用性质 内心：三角形的三个内角的角平分线的交点，该点为三角形内切圆的圆心，内心到三角形的三边的距离相等； 垂心：三角形的三条高的交点；通过作图可知锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外，该点分每条高线的两部分乘积相等； 重心：三角形的三条中线的交点，该点到顶点的距离为到对边中点距离的2倍； 外心：三角形的三条边的垂直平分线的交点，该交点为三角形外接圆的圆心，外心到三个顶点的距离相等. 四心在高中阶段具有代数与几何的双重身份，需要给这四心的几何特征以代数形式，数形结合，以形助数，以数解形. 《高中课程要求》 三角形的“四心”有着明显的几何特征，这些几何特征与高中很多知识都有交汇，所以要熟练掌握它们的概念，理解对应的几何意义，为高中“四心”知识的综合奠定基础. 热身练习 一、单选题 1．（2020·山东省淄博第一中学高一开学考试）给出下列命题，其中正确的有（ ） ①重心到顶点与对边中点的距离之比为； ②等边三角形的外接圆的半径和内切圆半径之比为； ③等腰三角形的内心.重心和外心同在底边的高线上； ④直角三角形的外心是斜边的中点，垂心是直角的顶点； A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】根据三角形内心，重心，垂心，外心的定义即可逐项判断. 【详解】解：对①，如图所示：为的重心，连接, 易知，且， 设， 易知∽， ， ， ， ， 故， 即重心到顶点与对边中点的距离之比为，故①错误； 对②，如图所示： 易知等边三角形三线合一， 既是等边三角形外接圆圆心，也是内切圆圆心， 是外接圆半径，是内切圆半径， 等边三角形的外接圆的半径和内切圆半径之比为，故②正确； 对③，如图所示： 等腰三角形底边中线，底边高，顶角角平分线，三线合一， 故等腰三角形的内心、重心和外心同在底边的高线上，故③正确； 对④，如图所示： 由直角三角形斜边中线是斜边的一半知， 直角三角形的外心是斜边的中点， 又点是直角三角形三边高线的交点， 直角三角形的垂心是直角的顶点. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是分清三角形的重心、内心、外心、垂心， 三角形的重心是三角形三边中线的交点；三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；三角形的外心是三角形三条中垂线的交点；三角形的垂心是三角形三条高线的交点. 2．（2020·云南昆明市·昆明一中高一开学考试）已知边长为a的正三角ABC内有一点O，则点O到三边的距离之和为（ ） A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、、，设等边三角形的高为，分别求出、、的面积，而三个三角形的面积之和等于面积，由此等量关系可求出到三角形的三边距离之和等于的高． 【详解】解：连接、、，设等边三角形的高为 正三角形边长为， 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质及三角形的面积公式，属于中档题． 二、解答题 3．（2020·云南昆明市·昆明一中高一开学考试）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，点P是△ABC内一点，连接PA，PB，PC，已知∠1=30°，∠2=∠3. （1）求证:AP=BC； （2）试探究△PAB与△PBC的面积的比值. 【答案】（1）详见解析；（2）. 【分析】（1）过点P作，易得四边形是矩形，再由，得到，然后在中，由，得到即可. （2）结合（1）知，再由，，得到，然后由求解. 【详解】（1）如图所示： 过点P作， 因为， 所以四边形是矩形， 所以，又， 所以，， 在中，因为， 所以， 所以. （2）由（1）知，， 所以，， ， 所以， ， . 【点睛】本题主要考查平面几何图形中的边角关系的应用，还考查了转化化归的思想、数形结合思想和运算求解的能力，属于较难题. 知识精讲 1、 三角形的“四心” 三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题. 如图3.2-1 ，在三角形中，有三条边，三个角，三个顶点，在三角形中，角平分线、中线、高（如图3.2-2）是三角形中的三种重要线段. 三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点. 三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等. 三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部. 过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点. 2、