专题03 基本不等式-2022年（新高考）数学高频考点+重点题型

专题03基本不等式--2022年（新高考）数学高频考点+重点题型 一、关键能力 探索基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单最大(小)值问题，利用不等式求最值的方法较多，要理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择合适大的运算方法，设计合理运算程序，并对条件问题中的代数式合理变形求得运算结果，培养学生的数学运算能力． 二、教学建议 基本不等式是解决问题的基本工具。强化推理证明和不等式的应用意识．从新高考的命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高．抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键． 三、自主先学 1．基本不等式： (1)基本不等式成立的条件：． (2)等号成立的条件：当且仅当时取等号． (3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数的几何平均数． 若时, ,当且仅当时等号成 2．几个重要的不等式 (1)重要不等式：．当且仅当时取等号． (2，当且仅当时取等号． (3，当且仅当时取等号． 3．利用基本不等式求最值 已知，则 (1)如果积是定值，那么当且仅当时， 有最小值是 (简记：积定和最小)． (2)如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值是 (简记：和定积最大)． 四、高频考点+重点题型 考点一、基本不等式求最值（消元法） 1．（2021·曲靖市第二中学高三二模（文））已知，，则的（ ） A．最大值是 B．最大值是 C．最小值是 D．最小值是 【答案】B 【详解】 因为，所以， 所以，等号成立当且仅当. 故选：B. 2．（2021·浙江宁波市·高三二模）已知正数，满足，当______时，取到最大值为______． 【答案】 【详解】 ,当且仅当时取等号， ∴当且仅当时，取到最大值， 故答案为：；. 3.设为正实数，满足，则的最小值是 答案：3 解析：消 考点二、基本不等式求最值（“1”的活用） 1．（2021·重庆高三其他模拟）已知，，，则的最小值为（ ） A．9 B．5 C． D． 【答案】C 【详解】 ，所以. 2．（2021·沙坪坝区·重庆南开中学高三其他模拟）已知正实数，满足，则的最小值是（ ） A．25 B．18 C．16 D．8 【答案】C 【详解】 ，则， 所以，当且仅当，即时等号成立． 故选：C． 3．（多选）（2021·福建三明市·高三三模）已知，，且，则可能取的值有（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】BCD 解：因为，，且， 所以 ，当且仅当，即取等号， 故选：BCD 4．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知正数a，b满足，则的最小值是___________. 【答案】3 解：因为正数a，b满足， 则， 当且仅当且即时取等号， 此时的最小值3. 故答案为：3. 5．（2021·上海嘉定区·高三二模）已知正数满足，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】 （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为. 故答案为：. 6．（2021·全国高三其他模拟（理））已知，，且，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】 ，，且， 当且仅当，且， 即，时取等号， 的最小值为. 故答案为:. 考点三、基本不等式求最值（配凑积、和） 1．（多选）（2021·全国高三其他模拟）若x＞1，y＞2，且满足xy﹣2x＝y，则的值可以为（　　） A． B．3 C．4 D． 【答案】CD 【详解】 由xy﹣2x＝y，知， 则 当且仅当，时，等号成立， 从选项可知，CD满足条件， 故选：CD 2．（2021·宁波中学高三其他模拟）若实数、满足，则的最小值为___________. 【答案】 【详解】 ，即， 则 ， 当且仅当、时等号成立， 故的最小值为， 故答案为：. 3．（2021·宁波市北仑中学高三其他模拟）已知正实数满足，则的最小值是________． 【答案】 【详解】 由已知得，，则，， 因为，所以，， 因此， 当且仅当，即，即时，等号成立； 所以的最小值是. 故答案为：. 4．（2021·天津高三二模）已知，且，则的最小值是___________. 【答案】4 【详解】 解：， ，又 （当且仅当时等号成立）. 的最小值为4. 故答案为：4. 考点四、多次使用基本不等式 1．（2021·天津高考真题）若，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】 ， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 2．（2021·天津市武清区杨村第一中学高三其他模拟）已知都为正实数，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】 ，因为都为正实数，，当且仅当，即时等号成立，所以，当且仅当，即时等号成立，综上所述，当时，取最