第2讲 函数的单调性与最值、奇偶性（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第02讲 函数的单调性与最值、奇偶性 【学习目标】 1、理解单调区间、单调性等概念，会用定义证明函数的单调性. 2、会求函数的单调区间，判断单调性(重点)． 3、理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义，会借助单调性求最值). 【知识结构】 【考点总结】 一、函数的单调性 (1)增函数和减函数 名称[ 定义 几何意义 图形表示 增 函 数 对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数，区间D称为f(x)的单调递增区间 f(x)的图象在区间D上是“上升”的 减 函 数 对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是减函数，区间D称为f(x)的单调递减区间 f(x)的图象在区间D上是“下降”的 (2)单调性 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性．区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间． 对函数单调性的理解　 (1)函数在区间D上的单调性是针对定义域内某个区间D而言的． ①这个区间可以是整个定义域： 如y＝x在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递增的，y＝－x在整个定义域(－∞，＋∞)上是单调递减的，此时单调性是函数的一个整体性质． ②这个区间也可以是定义域的一部分，也就是定义域的一个真子集， 如y＝x2－2x＋1在整个定义域(－∞，＋∞)上不具有单调性，但是在(－∞，1]上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，这时增减性即单调性是函数的一个局部性质． (2)x1，x2的三个特征一定要予以重视．函数单调性定义中的x1，x2有三个特征：一是任意性，即任意取x1，x2，“任意”二字绝对不能丢掉，证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换；二是有大小，通常规定x1＜x2；三是同属一个单调区间，三者缺一不可． (3)有的函数无单调性．如函数y＝它的定义域是(－∞，＋∞)，但无单调性可言． 二、函数的最值 (1)最大值和最小值 定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： ①对于任意的xI，都有f(x)≤M(f(x)≥M)； ②存在x0I，使得f(x0)＝M． 那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大(小)值． 几何意义：函数y＝f(x)的最大(小)值是其图象上最高(低)点的纵坐标． (2)最值 函数的最大值和最小值统称为函数的最值，则函数y＝f(x)的最值是图象上最高点或最低点的纵坐标． 对函数的最值的理解 (1) 最大值(或最小值)必须是一个函数值，是值域中的一个元素． 如函数f(x)＝－x2(xR)的最大值是0，有f(0)＝0． (2) 使函数f(x)取得最值的自变量的值有时可能不止一个． 如函数f(x)＝x2，x[－1,1]的最大值是1，此时有f(1)＝f(－1)＝1，即取得最大值的自变量有两个． (3)不等式f(x)≥M或f(x)≤M中的x是函数定义域中的任意值，不能是定义域中的部分值； (4)不等号“≤”或“≥”中的等号必须能够成立，否则M不是函数的最值． 三、单调性的证明与判断 (1)单调性的证明 ①函数单调性的证明的最基本方法是依据函数单调性的定义来进行，其步骤如下： 第一步：设元，即设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1＜x2； 第二步：作差，即作差f(x1)－f(x2)； 第三步：变形，即通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形； 第四步：判号，即确定f(x1)－f(x2)的符号，当符号不确定时，可以进行分类讨论； 第五步：定论，即根据单调性的定义作出结论． 其中第三步是关键，在变形中一般尽量化成几个最简因式的乘积或几个完全平方的形式． ②利用单调性定义的等价形式证明：设x1，x2[m，n]，x1≠x2，那么 (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0＞0f(x)在区间[m，n]上是增函数； (x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0＜0f(x)在区间[m，n]上是减函数． (2)单调性的判断 判断函数的单调性常用的方法有： ①定义法：即“设元——作差——变形——判号——定论”； ②图象法：先作出函数图象，利用图象的直观性判断函数的单调性； ③利用已知函数的单调性及运算来判断函数的单调性，具体方法如下： 若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上： 1°f(x)与f(x)＋C具有相同的单调性； 2°f(x)与af(x)，当a＞0时单调性相同；当a＜0时，单调性相反； 3°当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； 4°当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，则f(x