第03讲 二次函数与一元二次方程、不等式（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第03讲 二次函数与一元二次方程、不等式 【学习目标】 1、掌握二次函数的图象与性质，会求二次函数的最值(值域)、单调区间． 2、理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 3、掌握图像法解一元二次不等式，培养数形结合、分类讨论思想方法解一元二次不等式的能力. 4、掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法． 【知识结构】 【考点总结】 一、二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． ③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (2)二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减； 在上单调递增 在上单调递增； 在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 二、一元二次方程的根的分布 (1)一元二次方程的根的零分布 所谓一元二次方程的根的零分布，是指方程的根相对于零的关系． 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实根为x1，x2且x1≤x2 ①x1＞0，x2＞0 ②x1＜0，x2＜0 ③x1＜0＜x2＜0． ④x1＝0，x2＞0c＝0，且＜0；x1＜0，x2＝0c＝0，且＞0． (2)一元二次方程的根的k分布 研究一元二次方程的根的k分布，一般情况下要从以下三个方面考虑： ①一元二次方程根的判别式． ②对应二次函数区间端点的函数值的正负． ③对应二次函数图象——抛物线的对称轴与区间端点的位置关系． 设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的两实根为x1，x2，且x1≤x2，则一元二次方程的根的k分布(即x1，x2相对于k的位置)有以下结论． 根的分布 图象 等价条件 x1≤x2＜k k＜x1 ≤x2 x1＜k ＜x2 f(k)＜0 x1，x2 (k1，k2) x1，x2中有 且仅有一个在区间 (k1，k2)内 f(k1)·f(k2)＜0或f(k1)＝0，k1＜或f(k2)＝0，＜k2． 三、一元二次不等式的概念 一元二次不等式 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 表达式 ax2＋bx＋c＞0，ax2＋bx＋c＜0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 解集 ax2＋bx＋c＞0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为正数的自变量x的取值集合 ax2＋bx＋c＜0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值为负数的自变量x的取值集合 ax2＋bx＋c≥0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值大于或等于0的自变量x的取值集合 ax2＋bx＋c≤0(a≠0) 解集是使f(x)＝ax2＋bx＋c的函数值小于或等于0的自变量x的取值集合 四、“三个二次”(二次函数、一元二次方程、一元二次不等式)的关系 Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像 ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2 有两个相等的实数根x1，x2 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x＜x1或x＞x2} R ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ 五、一元二次不等式的解法 利用“三个二次”的关系我们可以解一元二次不等式．解一元二次不等式的一般步骤： (1)将不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0； (2)计算相应的判别式； (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图像，写出不等式的解集． 六、一元二次不等式的恒成立问题 1．一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集是R的等价条件是a>0且Δ<0. 2．一元二次不等式ax2＋bx＋c<0的解集是R的等价条件是a<0且Δ<0. 3．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 【例题解析】 题型一、二次函数的解析式 例1、 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 【解】　法一：(利用一般式) 设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 由题意得解得 所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 法二：(利用顶点式) 设f(