第01讲 等式性质与不等式性质（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第01讲 等式性质与不等式性质 【学习目标】 1、会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质. 2、会利用不等式性质比较大小 【知识结构】 【考点总结】 一、等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 二、不等式的概念 我们用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子叫做不等式． 三、比较两个实数a、b大小的依据 文字语言 符号表示 如果a＞b，那么a－b是正数； 如果a＜b，那么a－b是负数； 如果a＝b，那么a－b等于0， 反之亦然　　　　　　　　　 a>b⇔a－b>0 a<b⇔a－b<0 a＝b⇔a－b＝0 [化解疑难] 1．上面的“⇔”表示“等价于”，即可以互相推出． 2．“⇔”右边的式子反映了实数的运算性质，左边的式子反映的是实数的大小顺序，二者结合起来即是实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 四、不等式的性质 (1)对称性：a>b⇔b<a； (2)传递性：a>b，b>c⇒a>c； (3)可加性：a>b⇒a＋c>b＋c. 推论(同向可加性)：⇒a＋c>b＋d； (4)可乘性：⇒ac>bc；⇒ac<bc； 推论(同向同正可乘性)：⇒ac>bd； (5)正数乘方性：a>b>0⇒an>bn(n∈N*，n≥1)； (6)正数开方性：a>b>0⇒>(n∈N*，n≥2)． [化解疑难] 1．在应用不等式时，一定要搞清它们成立的前提条件．不可强化或弱化成立的条件． 2．要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性． 【例题解析】 题型一　利用不等式性质判断命题的真假 例1　判断下列不等式关系是否正确，并说明理由． (1)若＞，则a＞b； (2)若a>b，ab≠0，则＜； (3)若a＞b，c＞d，则ac＞bd. 解　(1)正确．∵c2≠0且c2＞0，∴在＞两边同乘以c2不等式方向不变．∴a＞b. (2)错误．a＞b⇔＜成立的条件是ab＞0. (3)错误．a＞b，c＞d⇒ac＞bd，当a，b，c，d均为正数时成立． 反思与感悟　判断一个命题不成立的常用方法 (1)从条件入手，推出与结论相反的结论； (2)举出反例予以否定． 【变式】已知三个不等式：①ab＞0，②＞，③bc＞ad.以其中两个作条件，余下一个作结论，则可组成________个正确命题． 答案　3 解析　将②作等价变形：＞⇔＞0. 由ab＞0，bc＞ad，可得②成立，即①③⇒② 若ab＞0，＞0，则bc＞ad，故①②⇒③； 若bc＞ad，＞0，则ab＞0，故②③⇒①. ∴可组成3个正确命题． 题型二　不等式性质的应用 例2　已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞. 证明　∵c＜d＜0， ∴－c＞－d＞0， 又∵a＞b＞0， ∴a＋(－c)＞b＋(－d)＞0， 即a－c＞b－d＞0， ∴0＜＜， 又∵e＜0， ∴＞. 反思与感悟　利用不等式的性质证明不等式的注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，切不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 【变式】已知a＞b，m＞n，p＞0，求证：n－ap＜m－bp. 证明　∵a＞b，又p＞0，∴ap＞bp. ∴－ap＜－bp， 又m＞n，即n＜m. ∴n－ap＜m－bp. 题型三　利用不等式的性质求范围 例3　已知2<a<4,3<b<8，求a－b，的取值范围． 解　∵3<b<8，∴－8<－b<－3. 又2<a<4，∴－6<a－b<1. ∵3<b<8，∴<<. 又2<a<4，∴<<. 综上，－6<a－b<1，<<. 反思与感悟　利用性质求范围问题的基本要求 (1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等． (2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性． 【变式】已知－≤α<β ≤，求，的取值范围． 解　∵－≤α<β≤， ∴－≤<，－<≤. 将两式相加，得－<<. ∵－<≤，∴－≤－<， ∴－≤<. 又知α<β，∴<0，故－≤<0. 【易错点】 例4　已知1≤a－b≤2且2≤a＋b≤4，求4a－2b的取值范围． 错解　1≤a－b≤2，① 2≤a＋b≤4，② 由①＋②，得3≤2a≤6， ∴≤a≤3，③ 由②＋①×(－1)，得0≤2b≤3， ∴0≤b≤，④ 由③×4＋④×(－2)， 得3≤4a－2