第十三讲 全称量词命题与存在量词命题的否定-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第十三讲：全称量词命题与存在量词命题的否定 【学习目标】 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 【基础知识】 知识点：含量词的命题的否定 p 结论 全称量词命题∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 存在量词命题∃x∈M，p(x) ∀x∈M，p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 知识点：命题的否定与原命题真假性相反. 【考点剖析】 考点一：全称量词命题的否定 例1．命题对任意，，则命题的否定是（ ） A．当时， B．存在，使得 C．存在，使得 D．当时， 【答案】B 【详解】 由全称命题的否定可知，命题的否定为：存在，使得. 故选：B. 变式训练1：命题“”的否定（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 因为原命题“”，所以其否定为“”， 故选：D. 变式训练2：命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】 根据全称命题与存在性命题的关系， 可得命题“，”的否定是“，”. 故选：B. 变式训练3：命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 根据全称命题的否定是特称命题，所以“”的否定是“”. 故选：C 考点二：存在量词命题的否定 例2．写出下列存在量词命题的否定： （1）某箱产品中至少有一件次品； （2）方程有一个根为偶数； （3），使. 【答案】（1）“某箱产品中至少有一件次品”的否定是“某箱产品都是正品”； （2）“方程有一个根为偶数”的否定是“方程的每一个根都不是偶数”； （3）“，使”的否定是“，”. 变式训练1：设命题，则为（ ） A． B．. C． D．. 【答案】A 【详解】 命题，， 由含有一个量词的命题的否定方法：先改变量词，然后再否定结论， 则为：，． 故选：． 变式训练2：设命题：，，则的否定为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】 由特称命题的否定知的否定为：，. 故选：B. 变式训练3：下列关于命题“，使得”的否定说法正确的是（ ） A．，均有假命题 B．，均有真命题 C．，有假命题 D．，有真命题 【答案】B 【详解】 命题“，使得”的否定是，均有， 对，又，故该命题为真命题. 故选：B 考点三：全称量词与存在量词命题的否定（判断真假） 例3．判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出命题的否定，并判断其真假. （1）不论取何实数,关于的方程必有实数根； （2）某些梯形的对角线互相平分； （3）函数图象恒过原点. 【答案】（1）即“所有，关于x的方程都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使得关于的方程没有实数解”，真命题； （2）是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题； （3）即“所有，函数图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数k，使函数图象不过原点”，是假命题. 变式训练1：判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出下列命题的否定. （1）所有的正方形都是矩形； （2）每一个奇数都是正数； （3），； （4）有些实数有平方根； （5），. 【答案】前三个命题都是全称量词命题，即具有形式“∀x∈M，p(x)”. 其中命题（1）的否定是“并非所有的正方形都是矩形”，也就是说“存在一个正方形不是矩形”； 命题（2）的否定是“并非每一个奇数都是正数”，也就是说“存在一个奇数不是正数”； 命题（3）的否定是“∃x∈R，”； 后两个命题都是存在量词命题，即具有形式“∃x∈M，p(x)”. 其中命题(4)的否定是“不存在一个实数，它有平方根”，也就是说“所有实数都没有平方根”； 命题(5)的否定是“∀x∈R，”. 变式训练2：判断下列命题的否定的真假： （1）任何一个平行四边形的对边都平行；（2）非负数的平方是正数 （3）有的四边形没有外接圆；（4），使得 【答案】（1）命题的否定为“存在一个平行四边形的对边不平行”， 由平行四边形的定义知该命题的否定是假命题； （2）命题的否定为“存在一个非负数的平方不是正数”， 因为，不是正数，所以该命题的否定是真命题； （3）命题的否定为“所有四边形都有外接圆”， 因为只有对角互补的四边形才有外接圆，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题； （4）命题的否定为“，都有”， 因为当，时，，所以原命题为真命题，命题的否定为假命题. 变式训练3：写出下列命题的否定，并判断它们的真假. （1）； （2）每个正方形都是平行四边形； （3）； （4）平行四边形的对边相等. 【答案】解：（1），假命题，因为，不等式无解 存在一个正