第十二讲 全称量词与存在量词-【暑假辅导班】2021年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第十二讲：全称量词与存在量词 【学习目标】 1.理解全称量词、全称量词命题的定义. 2.理解存在量词、存在量词命题的定义. 3.会判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并会判断它们的真假． 【基础知识】 知识点：全称量词和存在量词 全称量词 存在量词 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题是全称量词命题 含有存在量词的命题是存在量词命题 命题形式 “对M中任意一个x，p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” “存在M中的元素x，p(x)成立”，可用符号简记为“∃x∈M，p(x)” 【考点剖析】 考点一：全称量词与存在量词命题的识别 例1．用符号“”“”表达下列命题. （1）实数都能写成小数的形式； （2）存在一实数对，使成立； （3）任意实数乘，都等于它的相反数； （4）存在实数，使得. 【答案】答案见解析. 【详解】 解：（1），能写成小数形式； （2），使； （3）； （4）. 变式训练1：下列命题中，存在量词命题的个数是（ ） ①实数的绝对值是非负数； ②正方形的四条边相等； ③存在整数，使能被11整除. A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】A 【详解】 ①可改写为，任意实数的绝对值是非负数，故为全称量词命题； ②可改写为：任意正方形的四条边相等，故为全称量词命题； ③是存在量词命题. 故选：A 变式训练2：给出下列命题： ①存在实数，使；②全等的三角形必相似；③有些相似三角形全等；④至少有一个实数，使的根为负数. 其中存在量词命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】 对于①，命题的表述中有“存在”，故该命题为存在量词命题. 对于②，命题的表述中有“必”，即所有的全等三角形是相似的，故该命题为全称命题. 对于③，命题的表述中有“有些”，故该命题为存在量词命题. 对于④，命题的表述中有“至少有一个”，故该命题为存在量词命题. 故选：C. 变式训练3：下列命题不是存在量词命题的是（ ） A．有些实数没有平方根 B．能被5整除的数也能被2整除 C．在实数范围内，有些一元二次方程无解 D．有一个使与异号 【答案】B 【详解】 选项A、C中“有些”是存在量词，选项D中“有一个”是存在量词，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题． 故选：B． 考点二：全称量词与存在量词命题真假判断 例2．下列四个命题中，既是特称命题又是真命题的是（ ） A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数，使 C．任一无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数，使 【答案】B 【详解】 对于A，命题可改写为：对于任意斜三角形，其内角均为锐角或钝角，为全称命题，A错误； 对于B，命题可改写为：存在一个实数，使得，为特称命题，且为真命题，B正确； 对于C，命题可改写为：对于任意一个无理数，其平方均为无理数，为全称命题，C错误； 对于D，命题为特称命题，但当时，，命题为假命题，D错误. 故选：B. 变式训练1：下列命题中，是全称量词命题且是真命题的是（ ） A．对任意的、，都有 B．菱形的两条对角线相等 C．， D．正方形是矩形 【答案】D 【详解】 对于A选项，命题“对任意的、，都有”为全称命题， 但，该命题为假命题； 对于B选项，命题“菱形的两条对角线相等”为全称命题，该命题为假命题； 对于C选项，命题“，”为全称命题，当时，，该命题为假命题； 对于D选项，命题“正方形是矩形”为全称命题，该命题为真命题. 故选：D. 变式训练2：下列四个命题，真命题的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 对于A项，只有时，才成立，则A错误； 对于B项，，解得，则B错误； 对于C项，由，解得，则C错误； 对于D项，判别式，则xR，x2＋x＋2＞0，则D正确； 故选：D. 变式训练3：下列四个命题中真命题的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：对于，在0和1之间，不存在整数，所以错； 对于，，所以错； 对于，当时，，即不成立，所以错； 对于，因为 在上恒成立，所以对； 故选：． 考点三：含量词的命题真假求参（一） 例3．若“任意，”是真命题，则实数的最小值为（ ） A．- B．- C． D． 【答案】D 【详解】 因为“任意x∈，x≤m”是真命题，所以m≥， 所以实数m的最小值为. 故选：D 变式训练1：若命题“，不等式”为真命题，则的最大值是（ ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 若命题“，不等式”为真命题，则， 解得； 故选：B. 变式训练2：若命题“”是假命题，则实数的范围是（ ） A． B． C． D．