3.3 幂函数-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【重难点手册】人教A版

综上,x的取值范围是(一∞,2) =f(x1)+f()>f(x1) 9.设任意的x1,x2∈(-∞,0),且x1<x2,则-x1>-x2>0, 而f(x)在 )上为减函数,从而f(-x1)<f(-x2), 函数f(x)在(0,+∞)上是增函数 又函数f(x)为奇函数,则f(-x1)=-f(x1),f(-x2) (3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),且f(2)= f(x2),即一f(x1)<-f(x2),于是f(x1)-f(x2) f(4)=2.又由(1)(2)知函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4 由已知f(x)在区间(0,+∞)上有f(x)<0,得f(-x1)< 上是偶函数且在(0,4]上是增函数,∴函数f(x)在区间 )U(0,4]上的最大值为f(4)=f(-4)=2 所以f(x1)f(x2)=[-f(-x1)一f(-x2)]>0 (4)∵f(3x-2)+f(x)=f(x(3x-2)),4=2+2=f(4)+ f(4)=f(16),∴原不等式等价于f(x(3x-2)≥ 于是F(x1)-F(x2)= f(n) f(x2) f(xi)f(x2) f(16),又函数f(x)为偶函数,且函数f(x)在(0,+∞)上 1x)(x<0,所以函数F(x)=在区间(-,0) 是增函数,∴原不等式又等价于|x(3x-2)≥16,即 x(3x-2)≥16或x(3x-2)≤-16,∴不等式f( 上是增函数 2)+f(x)≥4的解集为xx≤-2或8 10.(1)当x<0时,x>0, f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x) 提示:因为f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函 f(x)=-f(-x)=-(x2-4x)=-x2+4x(x<0 数,所以f(x)在(-∞,0)上也是增函数 x2+4x,x≥ 又f(2)=f(1)+f(1)=4,所以f(-2)=-f(2)=-4 故函数f(x)在[-3,-2]上的最大值为—4 (2)设任意的x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则f(x2) (x≥0), f(x1)=(x2+4x2)-(x1+4x1)=(x2-x1)(x2+x1+4) 2.[√2,+∞).提示:由题意知f(x) 0<x1<x2,∴x2-x1>0,x2+x1+4>0 2f(x)=f(2x),因此,原不等式等价于f(x+a)≥f(√2x) f(x2)-f(x1)>0 (x1)<f(x2) 为f(x)在R上是增函数,所以x+4≥2x,即a≥(2-1)x ∴f(x)是(0,+∞)上的增函数 又x∈[a,a+2],所以当x=a+2时,(2-1)x取得最大 值(2-1)(a+2),因此,a≥(2-1)(a+2),解得a≥√2 11.(1)由题意得 即{a+b 故a的取值范围是[2,+∞) 3.3幂两数 变式训练 f(x)=1+x,经检验,符合题意 [变式1](1)∵y=x在[0,+∞)上为增函数且2.3<2.4, (2)任取x1,x2∈(-1,1)且x1<x2,则 在 )上为减函数,且√2<√3 1<x1<x2<1,∴x2-x1>0,1+x1>0,1+x2>0 (3)∵y=x÷在R上为偶函数,∴(-0.31)+=0.31 又函数y=x在[0,+∞)上为增函数,且0.31<0.35, f(x2)-f(x1)>0,即f(x2)>f(x f(x)在(-1,1)上是增函数 0.31÷<0.35÷,即(-0.31)<0.35÷ (3)原不等式可化为f(t-1)<-f(t)=f(-t) [变式2](1)由f(x)为幂函数知-2m2+m+2=1,解得 f(x)在(-1,1)上是增函数 =1或m=-2·当m=1时,f(x)=x,符合题意:当 4-1<-t<1,解得0<t<1 m=-2时,f(x)=x,不符合题意,舍去 故原不等式的解集为{t0<1< ∴函数f(x)的解析式为f(x) 12.(1)令x=y=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),得f(1)=0;再 (2)由(1)得f(x) 令x=y=-1,则f(-1)·(-1))=f(-1)+f(-1),得 y=x2-2(a-1)x+1.即函数图象的对称轴为直线x= f(-1)=0.对于条件f(x·y)=f(x)+f(y),令 y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1),∴f(-x)=f(x) y=x2-2(a-1)x+1在(2,3)上为单调函数 又函数f(x)的定义域关于原点对称 1≤2或a-1≥3,解得a≤3或 ∴函数f(x)为偶函数 数a的取值范围是(-∞,3]U[4,+∞) 真题演练 (2)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2,则有 1.D提示:y=x+1为一次函数,是增函数,但不是奇函数 又?当x>1时,(x)>0,:/(出)>0.面f(x) 选项A不符合 y=x3是奇函数且是