3.2 函数的基本性质-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【重难点手册】人教A版

(1)当m<1时,直线y=m与该图象无交点, 函数y=1的定义域为(-∞,0)U(0,+∞),且在区间 方程无解 (2)当m=1时,直线y=m与该图象有2个交点 0),(0,+∞)上单调递减 ∴方程有2个实数根 对于函数y=|x1,显然定义域为R,但在(-∞,0)上单调 (3)当1<m<5时,直线y=m与该图象有4个交点, 递减,在(0,十∞)上单调递增 方程有4个实数根 2.B提示:因为f(x)是R上的增函数,又a>1,所以当 (4)当m=5时,直线y=m与该图象有3个交点, 方程有3个实数根. f(ax),即g(x)=0;当x<0时,f(x)>f(ax),即g(x)>0.由符号 (5)当m>5时,直线y=m与该图象有2个交点 ∴方程有2个实数根 函数sgnx=10,x=0.知,gn[g(x)={0,x=0,=-sgnx 1.由f(x)~1得f2(x) 3.L,2].提示:由/a)=/.(,0 对任意 x2+2x-2a,x>0 f1(x)+1 x∈[-3,+∞),f(x)≤|x|恒成立, ①当-3≤x≤0时,x2+2x+a-2≤-x,即a≤-x2 3x+2,故a≤(-x2-3x+2)m,又y=-x2-3x+2 由f3(x)=f6(x)得 ∴f28(x)=x=-1±√2 (x+2)+4在-3,-2」上单调递增,在 2.f(x)=x2-53x+196+|x2-53x+196 2,0」上单调递减,当x=-3时,y=2;当x=0时 =(x-4)(x-49)+|(x-4)(x-49) 2.从而 当4≤x≤49时,(x-4)(x-49)≤0,此时f(x)=0 ②当x>0时,x2+2x-2a≤x,所以2a≥-x2+x,2a≥ 因此f(1)+f(2)+…+f(50)=f(1)+f(2)+f(3)+ f(50)=2×(144+94+46+46)=660 (-x2+x)m又y=-x2+x 十一在(0,+ 3.2网数的基木性质 上的最大值为,故a≥ 3.2.1单调性与最大(小)值 变式训练 综上,a的取值范围是L8,2 [变式1]设x1,x2是(-∞,+∞)上的任意两个实数 且x1<x2,则有 提示:∵函数f(x)=ax3-x,∴f(t+2)-f(t)= ∈R,使得f(1+2)-f(1)≤3,即存在∈R,使得3≤ 6a2+12a+8a≤3成立,又32+6t+4=3(+1)2+1>0, 3(3+6+4)≤a≤3(37+6+45有解,要求实数a的最 x-x>0,(x+2) 大值,即求3(3+61+4的最大值.令()=32+6+4)= x2+x1)+ x|> 9(+1)元,由复合函数的单调性知g(t) 即f(x1)-f(x2)>0 ∴函数f(x)=-x3+1在(-∞,+∞)上为减函数 变式2]B提示:易知函数f(x)=2x-a|+3的单调递 增区间为[a,+∞),单调递减区间为(-∞,a]. 2.提示:因为函数f(x)=|x2-ax 因为函数f(x)=2x-a|+3在区间[1,+∞)上不单调 所以分以下几种情况对其进行讨论 则a>1.故选B 时,函数f(x)= 在区间 真题演练 0,1上单调递增,所以f(x)mx=f(1)=g(a)=1-a 1.B提示:对于函数y=(x-1)2,显然定义域为R,但在 2当002=2时,(号)=(号) (-∞,1)上单调递减,在(1,十∞)上单调递增 对于函数y=x3,显然定义域为R 令y=f(x)=x3,任取x1,x2∈R,且x1<x 所以f(x)mx=f(1)=g(a) f(x1)-f(x2)=x1-x=(x1-x2)(x2+x1x2+x2)=(x 4,f(1)=1-a <0,即f(x1)≤f(x2),故函 数y=x在R上单调递增 而4-(1-a)>0,所以f(x)m=/(2)=g(a)=4 (4)当a≥2时,f(x)=|x2-ax|=-x2+ax在区间 于命题③,设x2>x,则f(x2)<f(x1),g(x2)>g(x1) [0,1]上单调递增; 当x=1时,f(x)取得最大值,即f(1)=g(a)=a-1 g(x1),故∫(x)一g(x)单调递减,命题③正确.而命题①④ 均错误,故正确的命题是②③ 综上可得g(a)=a2 4,2-2≤a<2,在(-∞,2-2)上3.D提示:(x)=-(x-a)2+a2,当a≤1时,f(x)在[1,2 a-1,a≥2 上是减函数;g(x) 当a>0时,g(x)在[1,2]上是减 单调递减,在(2√2-2,十∞)上单调递增 函数,则a的取值范围是0<a≤ 2时,g(a)的值最 4.D提示:解x<g(x)=x2-2,得x2-x-2>0,则x< 学业质量测评 或x>2.因此x≥g(x)=x2-2的解为-1≤x≤2 于是/(x)≈x2+x+2,x<-1或 1.C提示:由定义域知x≠1,故