2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【重难点手册】人教A版

卷 (x+2)+-64 2J34≤18, 1.B提示:因为亠 b,所以a>0,b>0 当且仅当x=6时取等号, ∴xy的取值范围是0<xy≤18. 即√ab≥-4,所以ab 当且仅当a=1,b=4时,ab的最小值为4 8√2-3 2.B提示:正实数a,b满足a+b=1, 时等号成立 a+b=2+b+≥4,故1+有最小值4故A错误 由于(a a+b+2√ab=1+2ab≤2 3<30 √a+√b≤2,故a+√b有最大值√2,故B正确 x+y的取值范围是8√2-3≤x+y<30. 由基本不等式,可得a+b 10.因为x为正数,所以1+x≥2√x,同理1+y≥2√y,1 ab≤,ab有最大值,故C错误 ≥2√z,所以(1+x)(1+y)(1+x)≥2x·2√y·2√z a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab≥1-1=1 8√xyz.因为xyz=1.所以(1+x)(1+y)(1+x)≥8 11.(1)由题可得,xy=1800,b=2a,则y=a+b+6=3a+6, 故a2+b2有最小值,故D错误 S=(x-4)a+(x-6)b=(3x-16)a=(3x-16)y6 3.B提示:(x+y)2=1+3xy≤1+3(x2),解得-2≤x 1832-6-3y(x>6,y>6,xy=1800 +y≤2.当且仅当x=y=1时等号成立,故选B 4.C提示:z=x2+4y2-3xy≥2(x·2y)-3xy=xy,当且仅 1832-480=1352, 当x=2y时等号成立,此时亠取得最小值,于是x+2y 当且仅当6x≈16 且xy=1800,即 z=2y+2y-2y2=2y(2-y)≤2 2,当且仅 S取得最大值1352 当y=1时等号成立.综上可得,当x=2,y=1.z=2时,x 十2y-取得最大值2 方法二S=1832-6x 1832-(6x+ 5.C提示:由x+3y=5xy得+=5 960 ≤1832-2 1832-480=1352 5(3x+4y) (3x+4y) 当且仅当6x=9600,即x=40时取等号,S取得最大值 ∴3x+4y≥5,当=12,即x=1,y=时,等号成立 此时y=1800 6.B提示:300≤x≤600,y=2x2-300x+80000, 80000 300≥2 /x,000301.提示根据题意得(x+y)=4ry≤(x+y),于 100,当且仅当-x= 80000 是x2+y2≤1,当且仅当x2=y2=时等号成立,因此x2+ 即x=400时取等号 y2的最大值为1 为使每吨的平均处理成本最低,该厂每月处理量应为 400吨.故选B. 2.10.提示:由题意知t≥x2>0,t≥m5 7.{x|x≥2+22}.提示:xy=(x+y)+1≤(x+y),因 为x+y>0,所以x+y≥2+22,当x=y时,等号成立 提示:因为x>0,所以x++≥2(当且仅当x= r2≥100,即t≥10,则当正数 y)变化时 时取等号),所以 max 的最小值为10 x+3x+1的最大值为5,故a≥ 3二次函数与一元二次方程、不等式 变式训 9.由x+2y+xy=30,得(2+x) 变式1](1)解方程x2-5x-6=0,得x1=-1,x2=6. 则2+x≠0,y=2+ 结合二次函数y=x2-5x-6的图象知,原不等式的解集为 {x|x<-1或 (1)xy (2)原不等式可化为x2-7x+6<0 317 解方程x-7x+6=0,得x1=1,x2=6 所以原不等式的解集为R. 结合二次函数y=x2-7x+6的图象知,原不等式的解集为综上所述,当a>4或a<-4时,原不等式的解集为 (3)原不等式可化为(x-2)(x+3)>0 解方程(x-2)(x+3)=0,得x1=-3,x2=2, 当a=4时,原不等式的解集为{x|x≠-1}; 结合二次函数y=(x-2)(x+3)的图象知,原不等式的解集 当a=-4时,原不等式的解集为{x|x≠1}; 为{xx<-3或x>2} 当-4<a<4时,原不等式的解集为R. (4)由原不等式得8x2-8x+4>4x-x2,即9x2-12x+4>0 变式5]当a<0时,△>0,解得 解方程9x2-12x+4=0,得x1=x2=3 结合二次函数y=9x2-12x+4的图象知,原不等式的解如图1所 集为{x 解集为{x<1+成x1 [变式2]A提示:方程x2-4ax-5a2=0的两根为-a, 当a=0时,解集为{x|x>1} 5a.∴2a+1<0,:a≤-2,:-a>5a.结合函数y=x 4ax-5a2的图象,得原不等式的解集为{x|x<5a或x a},故选A 图 [变式3]当a<2时,则(a-2)x2+(2a-1)x+6>0→[(2 当0< 时,如图2所示 a)x-3](x+2)<0,故解集为 解集为{x 当a=2时,