2.2 基本不等式-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【重难点手册】人教A版

定,∴③和⑤不一定成立 ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ca(c-a)= 6.c≥b>a.提示:因为c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,所 (c-a)(b+ca-ba-bc)=(c-a)(c-b)(a-b) 以c≥b.又因为b=1 [(b+c)-(c-b)] (6-4a+ 因为a>b>C,所以c-a<0,c-b<( 3a2)-(4-4a+a2)]=a2+1,所以b-a=a2-a+1= a2b+b'c+ca-(ab+be2+ca2)>0 +>0,所以b>a,综上可得,c≥b>a 所以a2b+b2c+c2a>ab2+bx2+ca 7.设A,B两地间的路程为s,甲、乙两辆车所用的时间分别为 t1,t2:则t 1.27.提示:4≤≤9,:16≤≤81 方法一因为t1-t2 a+b 2a 2h <0,即t1<t2,所以甲先到达B地 由①②可得2≤ 方法二 因为a≠b,所以(a+b)2>4ab,从 的最大值为27 而—<1,即t1<t2,所以甲先到达B地 2.设今天的气温为x,则明天的气温为2x,将两天的气温进 x>0,升温 8.(1)由于c的符号未知,因而不能判断ac与bc的大小 行比较,有2x-x=x,则{x=0,不变,所以不同地方的网 故该命题是假命题 x<0,降温 友会有不同的反应 故该命题为真命题 2.2基本不等式 (3)∴/a<b,∴a2>ab 变式训练 变式1]由 a2+b2 得√a+b≥y2(a+6 故该命题为真命题 同理得√b+ b+c),√a+a≥y2(c+a) 4)数轴上的两个负实数,离原点越远的数越小,其绝对值 反而越大 2[(a+b) 故该命题为真命题 故√a2+b2+√b+c2+√c2+a2≥2(a+b+c),当且仅 当a=b=c时,等号成立 故该命题为真命题 [变式2]C提示:原不等式转化为a(x2+1)+x2+1≥ (6)由已知条件,得b-a<0 ∴>0,∴ab<0.又a>b,∴a>0,b< 又a>0,则a(x2+1)+≥2√a(x2+1)·x+ 故该命题为真命题 2√a,当且仅当a(x2+1) 即 时等 9.令5a+b=A(2a+b)+(a-6)=(2A+p)a+(-)b 号成立,则根据恒成立的意义可知2a≥3,解得a≥9 +b=2(2a+b)+(a-b) [变式3]5.提示:因为x>1,a>0,y 1<2a+b<2,∴-2<2(2a+b)<4. 又3<a-b<4,∴1<2(2a+b)+(a-b)<8 1+x-1+1≥2a+1,当且仅当x-1=x-时等号成立 故5a+b的取值范围为{x|1 又在x=3时y取得最小值,所以a=4,即y的最小值为5, 0.假设x<2和1<2都不成立, 故答案为5 变式4](1)因为x>0,y>0,且x+8y-xy=0,所以xy x+8y≥2√8xy,所以xy≥3 ∴1+x+1+y≥2y+2x,即2+x+y≥2(x+y), 当且仅当x=8y,即x=16,y=2时取等号,因此xy的最 ∴2≥x+y,即x+y≤2 与已知条件x+y>2相矛盾,假设错误, (2)由已知得x+y=1,所以x+y=(x+y) 和<2中至少有一个成立 11. a'b+b'c+c"a-(ab+bc2+ca')=(a b-bc2)+(b'c 315 当且仅当 1时取等号 ,即xy=3时取等号,结合xy≤8可知,xy可以取到 因此x+y的最小值为9+4 3,故x+1)(2y+1)的最小值为43 变式5]9.提示:由题意得-+ 3.4提示:因为ab>0,所以 a2+4b4+1、2√4ab+1 y=9,当且仅当=4x 时取等号,所以一+一的最小值为9 4db+1=4b+=22y4ab·ab=4,当且仅当 [变式6]D提示:设a+1=x,a+2b=y 1ab=1时取等号,故+4b 的最小值是4 则a 提示:由已知可得 x,则x2+y2 题目转化为:已知 求(3x+y)-的最小值 又3x+y=(3x+y)(+1)=4+5+2≥4+2/③ 当x=0或x=1时,x+y2取得最大值1,当x=1时,x 当且仅当x=3+3 y=√3+1时等式成立 y取得最小值2,所以x2+y2的取值范围是≤x 则(3x+y)-≥ 变式7].提示:4+46≥2√b=4√(当且仅当 学业质量测评 A卷 a=4b时等号成立) ∴(a+4b)2≥16ab(当且仅当a=4b时等号成立), 1.A提示:当a>0,b>0时,因为 所以 ≤+b,当且仅当a=b时等号成立,故A不正确 (当且仅当a=4b时等号成立), (2a)2+a=8,解得a=1故b 2.C提示:y=x+19-5≥2√(x+1)·-5= [变式8]4√2.提示:因为2a(b-2a)≤ 2a+(b-2a)2 1,当且仅当x+1=x+1,即x=2时取等号,则a