2.1 等式性质与不等式性质-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【重难点手册】人教A版

∵两方程的根都是整数,∴其根的和与积也为整数 (1)若教师人数为4则4<y<x<8,当x=7时,y取得最 即4m∈Z, m为4的约数 2,不满足条件;当z=2 2=x<y<x<4,不满足条件;当x=3时,3=<y<x<6 4m2-4m-5∈Z y=4,x=5,满足条件.所以该小组人数的最小值为3+4+ 当 时,第一个方程可化为x2+4x-4=0,其根不学业质量测评 是整数 A卷 当m=1时,两方程的根均为整数, 1.D提示:由题中x不低于95,即x≥95,y高于380,即y> 两方程的根均为整数的充要条件是 380,超过45,即z>45,可得D正确 22.(1)因为4∈A,但是4+4=8∈A,所以A不为闭集合 2.A提示:由条件a+b<0,且a>0可得b<0.因为a 任取a,b∈B,设a=3m,b=3n,m,n∈Z (-ab)=a(a+b)<0,所以0<a2<-ab.又0<a(-b)< 则a+b=3m+3n=3(m+n)且m+n∈Z,所以a+b∈B )2,所以0<a2< 同理,a-b∈B,故B为闭集合 3.B提示:b= (2)结论:不一定 (7+√2)<(6+3)29+2√14<9+2√18=14<18, 令A={x1x=2k,k∈Z},B={x1x=3k,k∈Z}, 则由(1)可知,A,B为闭集合,但2,3∈A∪B,2+3=5∈A∪B, 成立,故b<c;又a-c=2√2-√6=√8-√6>0,故a>c.综上 因此,AUB不为闭集合, (3)证明:(反证法)若AUB=R 4.A提示:∵a+b=c+d,a+d>b+c,∴a+d+(a+b)> 则因为AR,存在a∈R且a∈A,故a∈B, ∴b<d.又a+ 同理,因为B≡R,存在b∈R且b∈B,故b∈A, 综上可得,d>b>a> 因为a+b∈R=AUB,所以,a+b∈A或a+b∈B 5x+1>2提示:y=x2+1的图象始终在y=z的图 若a+b∈A,则A为闭集合,a=(a+b)-b∈A,与a∈A 矛盾, 象的上方,也就是说y 1的函数值总是大于y= 若a+b∈B,则B为闭集合,b=(a+b)-a∈B,与b∈B 矛盾 的函数值,故x2+1>2 综上,存在c∈R,使得c∈A∪ 6.(a2+b2)>ab.提示:由题图可知,第一个广告牌的面 第二章一元二次函数、方程和不等式 (a2+b2),第二个广告牌的面积S2=ab,显然 等式性质与不等式性质 S1>S2,即(a2+b2)>ab 变式训练 7.∵x<y< x>-y>0,∴x>y2>0.∵∴x<y<0 变式1]ABC提示:当ac2>bc2时,c2>0,两边同时除以 c2,得到a>b,A正确;a-2|>|b-2≥0,那么|a-2|2> y<y:xy<0,即0x>y 即 B卷 b(b+c) b(b+c) 1.C提示:由题意知c<0,a>0,c<a,但b有可能为0. b+c>0, bc,C正确;令a=10,b 同样能满 2.D提示:由<<0知b<a< 足a+b>4,ab>4,但b>2不成立,D不正确 [变式2]A提示:因为P-Q=2a√a+7-2√a+3 则|a|+|b=-a-b=-(a+b),a+b|=-(a+b) 即|a|+|b|=|a+b,D不正确 √a+4=2√a+7a-2√a+7a+12<0,且P,Q>0,所以3.c提示:事实上木题的“∧”和“V”运算就是取最小值和 P<Q,故选 最大值的运 ab≥4,则a,b中至少有一个大于或等于2 真题演练 aVb≥2;同理,c+d≤4,则c,d中至少有 1.2a-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)=(a2 个小于或等于2 ,故选 b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+ 因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,2a+b>0 4.3.提示:对命题②作等价变形有>a>0 从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即2a3-b3≥2ab2-a2b. ab与bc-ad同号,故①③→②,①②→③,②③→①. 1,-1(答案不唯一,满足a>0,b<0即可 5.②④.提示:由特殊值法易知①不成立;由x>y→x+a> y+a又a>b→y+a>y+b,∴x+a>y+b,即②成立; 4.(1)6;(2)12.提示:设男学生、女学生、教师人数分别为 a→ x,y,z,则x>y>z x-b>y-a,即④成立;∵x,y.a,b的正负性没有确 314 定,∴③和⑤不一定成立 ab2)+(c2a-ca2)=b(a2-c2)+b2(c-a)+ca(c-a)= 6.c≥b>a.提示:因为c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,所 (c-a)(b+ca-ba-bc)=(c-a)(c-b)(a-b) 以c≥b.又因为b=1 [(b+c)-(c-b)] (6-4a+ 因为a>b>C,所以c-