1.4 充分条件与必要条件-2021-2022学年新教材高中数学必修第一册【重难点手册】人教A版

补集,即{aa≤-1或a≥-+ (A+1B1+C1)≥0,即(A|+|B1+1C1)≥ 10.由(CA)∩B={1,8},知1∈B,8∈B;由(CA)∩(CB)A∩B|+|B∩Cl+C∩A,故原不等式得证 4,6,9},知4,6,9∈A,且4,6,9∈B.由A∩B={2,3}, (2)当A'=B'=C=必时取等号,如A={1,2},B={2,3}, 知2,3是集合A与B的公共元素.因为U={1,2,3,4,5, 6,7,8,9},所以5,7∈A. 充分条件与必要条件 画出Venn图,如图所示 变式训练 变式1]D提示:依题意知,由“a2>b”不能推出“a>b” 反之,由“a>b”也不能推出“a2>b2”.故“a2>b2”是“a>b 的既不充分也不必要条件 [变式2]充分性:∵ac<0,∴△=b-4ac>0 (1)由图可知A={2,3,5,7},B={1,2,3,8} 方程ax2+bx+c=0有两个根,设为x1,x2 (2)(CU)ULC2(A∩B)]={x|x∈R,且x≠2,x≠3 11.由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={1,2} (1)∵A∩B={2},∴2∈B,将x=2代入B中的方程, 元二次方程ax2+bx+c=0有一正根和一个负根 必要性:∵一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和 1或 个负根, 当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件; 当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件 综上,a的值为-1或-3 综上所述,一元二次方程ax2+bx+c=0有一个正根和一 (2)对于集合B,△=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3) 个负根的充要条件是ac<0 ∵AUB=A,∴BA [变式3]由已知得A={1,2},因为p是q的必要不充分条 当△<0,即a<-3时,B=,满足条件; 件,所以B≌A 当A=0,即a=-3时,B={2},满足条件 根据集合中元素的个数对集合B进行分 当△>0,即a>-3时,B=A=(1,2}才能满足条件 讨论:B=0,B={1}或B={2} =-2(a+1) a=2’矛盾 当B=必时,方程x2-mx+2=0无实数解,△=m2-8<0 则由根与系数的关系得 解得-2 综上,a的取值范围是a≤一3 当B=(1}或B={2}时, (3)∵A∩(CB)=A,∴AC A∩B=必 1-m+2=0或4-2m+2=0 ①若B=,则△<0→a<-3,符合题意 综上所述,m的取值范围为-22<m<2√2 ②若B≠g,当a=-3时,B=(2},A∩B=(2},不合题意;真题演练 当a>-3时,需1∈B且2∈B. 1.A提示:由a2>a得a>1或a<0,反之,由a>1得a2> 将x=2代入B中的方程,得a=-1或a=-3; a,则“a>1”是“a2>a”的充分不必要条件 将x=1代入B中的方程,得a2+2a-2=0→a=-1 x2-5x<0,∴0<x<5.∴x-1<1,∴0 且a≠-3且a≠-1±√3. 2.∴“x2-5x<0”是“|x-1<1”的必要不充分条件 3.A提示:若x>1且y>1,则有x+y>2成立,所以p→q; ∴a的取值范围是a≠-1且a≠-3且a≠-1± 由x+y>2不能得到x>1且y>1,即qp.所以p是q C卷 的充分不必要条件 1.C提示P={x10<x<2,Q={xa-1≤x≤a+1),要使学业质量测评 P∩Q=x,则a+1≤0或a-1≥2,解得a≤-1或a≥3. 2.(1)∴A∩B∩C=,∴(A∩B)∩(A∩C)= ∴集合A可以分成三部分,即A∩B,A∩C,A-A∩B-A∩C= B提示:由x2<4,解得-2<x<2,故x<2是x2<4的必 A,则A|=A|+|A∩B|+|A∩C|.同理可得|B 要不充分条件,故选B B+1B∩A+1B∩C,C|=c|+c∩A|+(C∩B,2.A提示:由题意知,当a>4时,>1成立:当a>1成立时 其中B'=B-B∩A-B∩C,C=C-C∩A-C∩B a>4不一定成立,所以a>1是a>4的必要不充分条件 A∪BUC|=|A|+|B|+C|-|A∩B|-|B∩C 3.B提示:由x≠1,可令x=2,则有x-3x+2=0,故“x≠1 C∩A|+|A∩B∩C 不是“x2-3x+2≠0”的充分条件;反过来,若x2-3x+ 2≠0→x≠1且x≠2,有x≠1,故“x≠1”是“x2-3x+2≠ ∴证明原不等式等价于证明(A+B+|C1)≥A∩B+ 0”的必要条件 B∩C|+C∩A|, 4.A提示:已知a>0,b>0 而A|+|B|+|C|=|A'|+|B'|+|C1+2|A∩B|+ 充分性:若ab>1,∵(a-b)2≥0,∴a2+b≥2ab, 2|B∩C|+2C∩A|, ∴(a+b)2≥4ab,∴(a+b)