专题2.3 全称量词命题与存在量词命题-重难点题型精讲-2021-2022学年高一数学举一反三系列（苏教版2019必修第一册）

专题2.3 全称量词命题与存在量词命题-重难点题型精讲 1．全称量词与全称量词命题 2.存在量词与存在量词命题 3．全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，¬p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，¬p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． 4．命题的否定与原命题的真假 一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假． 【题型1 全称量词命题与存在量词命题的理解】 【方法点拨】 判定命题是全称量词命题还是存在量词命题，主要方法是看命题中含有全称量词还是存在量词．要注意的是有些全称量词命题并不含有全称量词，这时我们就要根据命题涉及的意义去判断． 【例1】（2020秋•邵武市校级月考）判断下列命题属于全称命题还是特称命题，并用数学量词符号改写下列命题： （1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0． 【分析】本题考查全称命题以及特称命题的含义以及符号表示，可以按照定义进行求解． 【解答】解：（1）任意的m＞1方程x2﹣2x+m＝0无实数根，是一个全称命题，用符号表示为：∀m＞1，方程x2﹣2x+m＝0无实数根； （2）存在一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立，是一个特称命题，用符号表示为：∃一对实数 x，y，使2x+3y+3＞0成立； （3）存在一个三角形没有外接圆，是一个特称命题，用符号表示为：∃一个三角形没有外接圆； （4）实数的平方大于等于0，是一个全称命题，用符号表示为：∀x∈R，x2≥0． 【点评】本题考查全称命题以及特称命题的含义以及符号表示，属容易题． 【变式1-1】用符号“∀”“∃”表达下列命题． （1）实数都能写成小数的形式； （2）存在一实数对（x，y），使x+y+3＜0成立； （3）任一实数乘﹣1，都等于它的相反数； （4）存在实数x，使得x3＞x2． 【分析】根据全称量词命题可以表示为“∀x∈R，P（x）”， 存在量词命题可以表示为“∃x∈R，P（x）”； 分别写出对应的命题即可． 【解答】解：对于（1），实数都能写成小数的形式， 即：∀x∈R，x可以写出小数的形式； 对于（2），存在一实数对（x，y），使x+y+3＜0成立； 即：∃有序数对（x，y），且x∈R，y∈R，有x+y+3＜0； 对于（3），任一实数乘﹣1，都等于它的相反数； 即：∀x∈R，﹣1×x＝﹣x； 对于（4），存在实数x，使得x3＞x2； 即：∃x∈R，x3＞x2． 【点评】本题考查了全称量词命题和存在量词命题应用问题，是基础题． 【变式1-2】（2020春•福清市期中）将a2+b2+2ab＝（a+b）2改写成全称命题是（　　） A．∃a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2 B．∃a＜0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2 C．∀a＞0，b＞0，a2+b2+2ab＝（a+b）2 D．∀a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2 【分析】根据全称命题的定义进行改写即可． 【解答】解：命题对应的全称命题为：∀a，b∈R，a2+b2+2ab＝（a+b）2 故选：D． 【点评】本题主要考查含有量词的命题的理解，比较基础． 【变式1-3】（2020秋•启东市校级月考）根据下述事实，得到含有量词的全称量词命题或存在量词命题为　 　． 13+23＝（1+2）2， 13+23+33＝（1+2+3）2， 13+23+33+43＝（1+2+3+4）2， 13+23+33+43+53＝（1+2+3+4+5）2， …… 【分析】观察到从1开始加，连续的几个数的三次方相加，就得其和的三次方，总结一下就是：任意从1开始的连续n个整数的三次方和等于其和的三次方． 【解答】解：根据已知条件的规律可得：∀n∈N*，13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2． 【点评】本题考查了归纳概括能力，把命题归结为全称命题或者特称命题，属于简易逻辑，是基础题． 【题型2 全称量词命题与存在量词命题的真假】 【方法点拨】 判断全称量词命题真假的方法：要判定一个全称量词命题为真命题，需要进行推理证明，或用前面已经学过的定义、定理作证明，而要判断其为假命题，只需举出一个反例即可． 判断存在量词命题真假的方法：判断存在量词命题“∃x∈M，p(x)”的真假性的关键是探究集合M中x的存在性．若找到一个元素x∈M，使p(x)成立，则该命题是真命题；若不存在x∈M，使p(x)成立，则该命题是假命题． 【例2】（2020秋•东阳市校级期中）下列命题为真命题的是（　　） A．∃x∈Z，