第05讲 全称量词与存在量词（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第05讲 全称量词与存在量词 【学习目标】 1.通过生活和数学中的丰富实例理解全称量词与存在量词的含义，熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.了解含有量词的全称命题和特称命题的含义，并能用数学符号表示含有量词的命题及判断其命题的真假性. 【知识结构】 【考点总结】 一、全称量词与全称量词命题 全称量词 所有的、任意一个、一切、每一个、任给 符号 ∀ 全称量词命题 含有全称量词的命题 形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“∀x∈M，p(x)” 二、存在量词与存在量词命题 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的 符号表示 ∃ 存在量词命题 含有存在量词的命题 形式 “存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为“∃x0∈M，p(x0)” 三、全称量词命题与存在量词命题的否定 (1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)的否定：∃x∈M，p(x)；全称量词命题的否定是全称量词命题． (2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)的否定：∀x∈M，p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题． (1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示. (2)存在量词命题：含有存在量词的命题叫做存在量词命题存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M，p(x)，读作“存在M中的元素x，使p(x)成立”. 【例题解析】 题型一　全称量词与全称量词命题 【例1】　下列命题含有全称量词的是 （ ) A．某些函数图象不过原点 B．实数的平方为正数 C．方程有实数解 D．素数中只有一个偶数 【答案】B 【解析】“某些函数图象不过原点”即“存在函数，其图象不过原点”；“方程有实数解”即“存在实数，使”；“素数中只有一个偶数”即“存在一个素数，它是偶数”，这三个命题都是存在量词命题，“实数的平方为正数”即“所有的实数，它的平方为正数”，是全称量词命题，其省略了全称量词“所有的”，所以正确选项为B. 【训练1】　判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出对应的命题的否定，并判断真假: (1)不论取何实数,关于的方程必有实数根； (2)所有末位数字是0或5的整数都能被5整除； (3)某些梯形的对角线互相平分； (4)函数图象恒过原点. 【解析】(1)即“所有，关于的方程都有实数根”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使得方程没有实数解”，真命题； (2)是全称量词命题，其否定为“存在末位数字是0或5的整数不能被5整除”，假命题； (3)是存在量词命题，其否定为“所有梯形的对角线不互相平分”，真命题； (4)即“所有，函数图象都过原点”，是全称量词命题，其否定为“存在实数，使函数图象不过原点”，是假命题. 题型二　存在量词与存在量词命题 【例2】指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假. （1）∀x∈N，2x＋1是奇数； （2）存在一个x∈R，使＝0； （3）对任意实数a，|a|＞0； 【答案】（1）是全称量词命题；是真命题；（2）是存在量词命题；是假命题；（3）是全称量词命题；是假命题. 【解析】（1）是全称量词命题.因为都是奇数，所以该命题是真命题. （2）是存在量词命题.因为不存在，使成立，所以该命题是假命题. （3）是全称量词命题.因为，所以不都成立，因此，该命题是假命题. 【训练2】　下列命题中：①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意，总有；存在量词命题的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】命题①中含有存在量词，是存在量词命题；命题②中全称量词省略，可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题；命题③中全称量词省略，可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”，是全称量词命题；而命题④中有全称量词“总有”，是全称量词命题故有1个存在量词命题；故选：B. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 $ 第05讲 全称量词与存在量词 【基础训练】 一、单选题 1．命题“，”的否定是（ ） A．， B．， C．， D．， 2．下列命题中，是真命题的全称量词命题的是（ ） A．实数都大于0 B．梯形两条对角线相等 C．有小于1的自然数 D．三角形内角和为180度 3．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（ ） A．任意一个无理数，它的平方不是有理数 B．任意一个无理数，它的平方是有理数 C．存在一个无理数，它的平方是有理数 D．存在一个无理数，它的平方不是有理数 4．命题“，≥0”的否定是（ ） A．，<0 B．，≤0 C．，<0 D．，≤0 5．已知命题：，，则命题的否定为