第04讲 充分条件与必要条件（考点讲解+分层训练）-2021-2022学年高一数学考点专项训练（人教A版2019必修第一册）

第04讲 充分条件与必要条件 【学习目标】 1.理解充分条件、必要条件的意义. 2.会求(判定)某些简单命题的条件关系. 3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力. 【知识结构】 【考点总结】 一、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”是真命题 “若p，则q”是假命题 推出关系 p⇒q p⇒/_q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 二、充要条件 (1)定义：若p⇒q且q⇒p，则记作p⇔q，此时p是q的充分必要条件，简称充要条件． (2)条件与结论的等价性：如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件． 【例题讲解】 题型一　充分条件、必要条件 例1、给出下列四组命题： (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A⊆B，q：A∩B＝A； (4)p：a>b，q：ac>bc. 试分别指出p是q的什么条件. 解　(1)∵两个三角形相似⇒/ 两个三角形全等，但两个三角形全等⇒两个三角形相似， ∴p是q的必要不充分条件. (2)∵矩形的对角线相等，∴p⇒q， 而对角线相等的四边形不一定是矩形，∴q ⇒/ p. ∴p是q的充分不必要条件. (3)∵p⇒q，且q⇒p， ∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件. (4)p⇒/ q，且q⇒/ p， ∴p是q的既不充分也不必要条件. 规律方法　本例分别体现了定义法、集合法、等价法.一般地，定义法主要用于较简单的命题判断，集合法一般需对命题进行化简，等价法主要用于否定性命题.要判断p是不是q的充分条件，就要看p能否推出q，要判断p是不是q的必要条件，就要看q能否推出p. 【训练1】　指出下列哪些命题中p是q的充分条件？ (1)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6. (2)已知x，y∈R，p：x＝1，q：(x－1)·(x－2)＝0. 解　(1)对于实数x，y，因为x＝2且y＝6⇒x＋y＝8， 所以由x＋y≠8⇒x≠2或x≠6， 故p是q的充分条件. (2)由x＝1⇒(x－1)(x－2)＝0， 故p是q的充分条件. 题型二　充分条件、必要条件的证明 例2、已知都是非零实数，且，求证：的充要条件是. 【答案】见解析 【解析】（1）必要性：由，得，即， 又由，得，所以. （2）充分性：由及，得，即. 综上所述，的充要条件是 【训练2】求证：关于x的方程有两个负实根的充要条件是． 【答案】详见解析 【解析】充分性： ，， 方程有实根，设的两根为，， 由韦达定理知：，、同号， 又， ，同为负根； 必要性： 的两个实根，均为负，且， ， ．所以命题得证． 【训练3】求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 【答案】见解析． 【解析】 (1)必要性：因为方程有一正根和一负根，所以为方程的两根)，所以ac<0. (2)充分性：由ac<0可推得Δ＝b2－4ac>0及x1x2＝<0(x1，x2为方程的两根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0有两个相异实根，且两根异号，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根． 综上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 $ 第04讲 充分条件与必要条件 【基础训练】 一、单选题 1．已知，，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知，则“”是“且”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4．对于实数，“”是“”的（ ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 5．“四边形ABCD是等腰梯形”是“四边形ABCD的对角线相等”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知陈述句α是β的必要非充分条件，集合M={x|x满足α}，集合N={x|x满足β}，则M与N之间的关系为（ ） A．MN B．MN C．M=N D． 7．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件