第四站 因式分解-【数理报】2020-2021学年七年级下册初一数学 《升级突破大模拟》(沪科版 安徽专版)

书书书 知识回顾 １．因式分解的定义 把一个多项式化成几个 的 的形 式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． ２．因式分解的一般方法 （１）提公因式法 公因式：把多项式各项都含有的 因式叫 做这个多项式各项的公因式． 提公因式法：如果一个多项式的各项含有 ，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多 项式化成两个因式 的形式，这种因式分解的 方法叫做提公因式法．值得注意的是提公因式法的依 据是乘法 律的“逆用”． 确定公因式的原则是“五看”： ①看系数．若各项系数都是整数，应提取各项系 数的最大 ． ②看字母．提取各项 的字母． ③看字母的次数．各字母的指数取次数 的．如多项式９ｘ２ｙ－１８ｘ２ｙ＋１２ｘ２ｙ２ｚ，各项系数的最大 公约数是３，各项中都含有的字母是ｘ，ｙ，ｘ的指数取最 低为２，ｙ的指数取最低为１，因此公因式是３ｘ２ｙ． ④看整体．如果公因式含有多项式因式时，应注 意符号的变换．如（ａ－ｂ）２ ＝（ｂ－ａ）２，（ａ－ｂ）３ ＝ －（ｂ－ａ）３，然后取相同因式中次数最低的因式作为 公因式的一部分． ⑤看首项符号．若多项式中首项是负数，则公因 式符号取 号，使多项式的第一项系数变为正 数，需注意的是在提取出“－”后，多项式的各项都要 ．如 －２７ｘ２ｙ＋９ｘｙ２ ＝－（２７ｘ２ｙ－９ｘｙ２）＝ －９ｘｙ（３ｘ－ｙ）．当某项全部提出后，剩下的是 ，而不是０．如ｍ２＋ｍｎ－ｍ＝ｍ（ｍ＋ｎ－１）， 而不能发生ｍ２＋ｍｎ－ｍ＝ｍ（ｍ＋ｎ）的错误． （２）公式法 平方差公式：把乘法公式中的平方差公式： 反过来，就得到因式分解的平方差 公式： ．也就是说，两个数的平 方差等于这两个数的和与这两个数的差的积． 完全平方公式：把乘法公式中的完全平方公式： 反过来，就得到因式分解的完 全平方公式： ．也就是 说两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 ２倍，等于这两个数的和（或差）的平方． ３．因式分解的步骤 （１）对于一个多项式，首先观察能否提公因式，再 看可否利用公式法分解； （２）因式分解必须分解到每个多项式都不能再分 解为止． 温馨提示：因式分解与整式乘法的区别与联系：因 式分解与整式乘法是两个互逆的变形过程：① 整式乘 法是把几个整式相乘化成一个多项式；② 因式分解是 把一个多项式化为几个整式的积的形式． 考点呈现我来悟 考点１：因式分解的概念 例１　对于①ｘ－３ｘｙ＝ｘ（１－３ｙ），②（ｘ＋３）（ｘ－ １）＝ｘ２＋２ｘ－３，从左到右的变形，表述正确的是 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．都是因式分解 Ｂ．都是乘法运算 Ｃ．①是因式分解，②是乘法运算 Ｄ．①是乘法运算，②是因式分解 解析：本题主要考查因式分解的定义，根据定义进 行判断即可．①左边是多项式，右边是整式乘积形式， 属于因式分解；② 左边是整式乘积形式，右边是多项 式，属于整式乘法运算．故选Ｃ． ●专项练习 １．下列从左到右的变形中，是因式分解的有 （　　） ①ａ（ｘ＋ｙ）＝ａｘ＋ａｙ；②１０ｘ２－５ｘ＝５ｘ（２ｘ－１）； ③２ｍＲ＋２ｍｒ＝２ｍ（Ｒ＋ｒ）． Ａ．３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 Ｄ．０个 ２．若多项式 ｘ２＋ａｘ＋ｂ分解因式的结果为（ｘ＋ １）（ｘ－２），则ａ＋ｂ的值为 ． 考点２：因式分解的方法 例２　分解因式：ｘ（ｘ－３）－ｘ＋３＝ ． 解析：先将原式进行变形，然后提取公因式即可． 原式 ＝ｘ（ｘ－３）－（ｘ－３）＝（ｘ－３）（ｘ－１）．故 填（ｘ－３）（ｘ－１）． ●专项练习 ３．多项式１２ａｂ３ｃ＋８ａ３ｂ各项的公因式是 （　　） Ａ．４ａｂ２ Ｂ．４ａｂｃ Ｃ．２ａｂ２ Ｄ．４ａｂ ４．分解因式：ｘ２－５ｘ＝ ． ５．把多项式３（ｘ－ｙ）－２（ｙ－ｘ）２分解因式，结果 正确的是 （　　） Ａ．（ｘ－ｙ）（３－２ｘ－２ｙ） Ｂ．（ｘ－ｙ）（３－２ｘ＋２ｙ） Ｃ．（ｘ－ｙ）（３＋２ｘ－２ｙ） Ｄ．（ｙ－ｘ）（３＋２ｘ－２ｙ） ６．已知ａ－２＝ｂ＋ｃ，则代数式ａ（ａ－ｂ－ｃ）－ｂ（ａ －ｂ－ｃ）－ｃ（ａ－ｂ－ｃ）的值等于 ． 例３　把多项式４ａ２－１分解因式，结果正确的是 （　　） Ａ．（４ａ＋１）（４ａ－１） Ｂ．（２ａ＋１）（２ａ－１） Ｃ．（２ａ－１）２ Ｄ．（２ａ＋１）２ 解析：熟练运用平方差公式是解题的关键． 原式 ＝（２ａ＋１）（２ａ－１）．故选Ｂ． ●专项练习 ７．关于ｘ的二次三项式ｘ２－ａｘ＋３６能用完全平方 公式分解因式，则ａ的值是 ． ８．下列各式中，能用平方差公式分解因式的有 （　　） ①ｘ２＋ｙ２；②ｘ２－ｙ２；③ －ｘ２＋ｙ２；④ －ｘ２－ｙ２；⑤１ －１４ａ ２ｂ２；⑥ｘ２－４． Ａ．３个 Ｂ．４个 Ｃ．５个 Ｄ．６个 ９．因式分解（ｘ＋ｙ）２－２（ｘ２－ｙ２）＋（ｘ－ｙ）２的结 果为 （　　） Ａ．４（ｘ