1.2.3 直线与平面的夹角-2021-2022学年新教材高中数学选择性必修第一册【创新教程】五维课堂同步课件（人教B版）

数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 1．2.3　直线与平面的夹角 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 课程标准 素养解读 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性 2.会求直线与平面的夹角 　　通过学习空间线面角，提升数学运算、逻辑推理素养 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 [情境引入] 倾斜的大树，因倾斜而闻名的斜塔，高昂的塔克炮筒，发射导弹的壮观场面……在这些画面中都让我们依稀看到了直线与平面相交的影子，如果把大树、斜塔、炮筒、导弹抽象成直线，把地面抽象成平面，怎样来刻画直线相对于平面的倾斜程度？ 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 [知识梳理] [知识点一]　直线和平面所成的角　 8.psd 9.psd 10.psd 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 [知识点二]　最小角定理　 12.psd 13.psd 14.psd 15.psd 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 [知识点三]　用空间向量求直线与平面的夹角　 　如果v是直线l的一个方向向量，n是平面α的法向量，设直线l与平面α所成角的大小为θ，则θ＝　eq \f(π,2)　－〈v，n〉或θ＝　〈v，n〉－eq \f(π,2)　，特别地cos θ＝　sin〈v，n〉　或sin θ＝　|cos〈v，n〉|　. 17.psd 18.psd 19.psd 20.psd 21.psd 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 　直线l的方向向量s与平面的法向量n的夹角一定是直线和平面的夹角吗？ [提示]　不是．直线和平面的夹角为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－〈s，n〉)). 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 [预习自测] 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)直线与平面的夹角不是锐角就是直角．(　　) (2)斜线与它在平面内的射影所成的角是锐角．(　　) (3)斜线与平面的夹角为[0,90°]．(　　) (4)直线与平面的夹角为[0,90°]．(　　) 答案：　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于(　　) A．120°　　 B．60°　　　C．150°　　　D．30° 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 解析：D　[因为直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，所以它们所在直线的夹角为60°，则直线l与平面α所成的角等于90°－60°＝30°.] 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 3．已知向量m，n分别为直线l和平面α的方向向量、法向量，若cos〈m，n〉＝－eq \f(\r(3),2)，则直线l与平面α所成的角为　________　. 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 解析：60°　[设直线l与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，n〉|＝eq \f(\r(3),2).又∵θ∈[0,90°]，∴θ＝60°.] 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 4．在正方形ABCD­A1B1C1D1中，CB1与平面AA1C1C所成角的大小为　________　. 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 解析：30°　[如图，连接B1D1交A1C1于O，连接OC，因为几何体是正方体，所以OB1⊥平面AA1C1C， 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 所以∠B1CO是CB1与平面AA1C1C所成角， 设正方体的棱长为1，则OB1＝eq \f(\r(2),2)，CB1＝eq \r(2)， sin∠B1CO＝eq \f(\f(\r(2),2),\r(2))＝eq \f(1,2)，可得∠B1CO＝30°. 即CB1与平面AA1C1C所成角的大小为30°.] 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 用定义法解决直线与平面的夹角问题 [例1] 如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°. 数学·选择性必修第一册B版 课前预习学案 课堂互动学案 课时素养提升 (1)求证：BC⊥平面