2.2 基本不等式（备课件）-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 人教A版2019高中数学必修第一册 基本不等式及其推导 前面我们利用面积法和完全平方公式得出了一类重要不等式： ，有： 特别地，如果，我们用分别代替上式中的 ，可得： 当且仅当时，等号成立. 当且仅当时，等号成立 基本不等式及其推导 【问题】上述均值不等式是如何推导的？ 【证明】当时，， 由重要不等式可得： ， ，所以 基本不等式及其推导 （1）基本不等式成立的条件是. ①若，如，此时是不成立的； ②若中有一个小于0，如如，则无意义 ③若等于0，虽然该不等式也成立，但一般不研究这种情况 （2）基本不等式的常见变形式： ① ② 基本不等式链 基本不等式的推广 ①三元不等式： 当为正实数时， . 当且仅当时成立 ②n元基本不等式： 当且仅当时成立 基本不等式的几何意义 【答】可证，因此CD=，由于CD 小于或等于圆的半径，所以用不等式表示为： 如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=，BC= .过点C作 垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ A B D C E 显然，当且仅当点C与圆心重合，即当时， 等号成立. 例1：已知，求证：. 【证明】 ，即. 利用基本不等式证明不等式 跟踪练习2：已知都是正数，且，求证： （1） （2） 【证明】（1）∵ ， ，∴ ， ∴ ， 由于，等号取不到，所以 （2）∵ ， ， ，∴， ∴ ，∴ ， ∴ 利用基本不等式求最值 利用基本不等式求最值 例4 已知都是正数，求证： （1）如果等于定值P，那么当时，有最小值 （2）如果等于定值S，那么当时，有最大值 证明所以 （1）等于定值P时， ，所以 当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值 （2）时， ，两边平方，所以 ，当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值 利用基本不等式求最值 【1】利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词