2.1 等式性质与不等式性质（备课件）-【上好课】2021-2022学年高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.1 等式性质与不等式性质 人教A版2019高中数学必修第一册 不等关系及其表示 在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、 大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过和不 少于等。类似于这样的问题反映在数量关系上就是相等和不相等，相等用等 式表示不等用不等式表示。 【等式】指的是用等号“=”连接起来的式子 【不等式】指的是用不等号“≠”“＞”“＜”“≥”“≤” 连接起来的式子 实数大小的比较 实数大小比较 的基本事实① 【作差法】 ① ② ③ ① ② ③ 实数大小比较 的基本事实② 【作商法】 ① ② ③ 比较和的大小. 【解】运用作差法： 0是正数与负数的分界线，它为比较实数的大小提供了标杆. 2＞0， 所以＞ ，比较和的大小. 【解】运用作商法： 1是相等与不等的分界线，它也为比较实数的大小提供了标杆. ， 所以， 即 ，所以 一个重要不等式 如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标灵感来 源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关系？ 很显然赵爽弦图是我们在初中研究勾股定理时的模型，我们把 它抽象成如图所示的图形. 设图中直角三角形的两个直角边长为，那么正方形的边长就是，这样，四个直角三角形的面积之和就是，正方形的面积为，很显然正方形的面积大于三角形面积和.即 当直角三角形变为等腰直角三角形时，内部的小正方形变成了一个点，此时，有，所以综合可知， 一个重要不等式 一般地，，这个不等式被称为重要不等式， 当且仅当时，等号成立. 事实上，利用完全平方公式也可以得到这个不等式： 因为,,当且仅当时，等号成立.所以 因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到： ，当且仅当时，等号成立. 等式有什么性质？ 等式有什么性质？ 已知，，求证 【分析】因为，所以要证，可先证明 【证明】因为，所以， . 所以 ， 因为，所以，即 THANKS “ ” 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔____ 可逆 2 传递性 a>b，b>c⇒____ 3 可加性