专题15 跨阶同构-2022年高考数学优拔尖必刷压轴题（选择题、填空题）（新高考地区专用）

专题15 跨阶同构 【方法点拨】 跨阶同构的几个关键环节: 1.指对各一边，参数是关键，凑形是难点. 2.凑形的常用方法：为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等. 3.常见同构式: （1）与型：，； （2）与型：，. 【典型题示例】 例1 已知函数，若，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由移项得： （说明：将变量移至一边的原则进行变形） 即，两边同时加（x－1）得 （说明：系数升指数、按左右结构相同的原则进行变形） 即 设，则，所以单增 所以，即 设，则，所以在单减，在单增， 所以，所以. 点评： 对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数． 例2 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由得，即对任意的恒成立． 设，则恒成立， 又， ∴当时，单调递减；当时，单调递增．画出图象为 ①当时，，此时函数单调递增，∴， 即，所以恒成立，∴恒成立． 则当时，单调递增；当时，单调递减，∴，∴． ②当时，， 由，结合函数的图象可得，即恒成立． 综上可得，∴实数的取值范围是． 【解析二】由得，即对任意的恒成立． 当时，总有，. 只需考虑的情形，亦即. 设(>0)，则， 上为增函数. 由得，，即，故 ，∴． 【解析三】由得，，即对任意的恒成立． 当时，总有，. 只需考虑的情形，亦即. 设(>1)，则， 上为增函数. 由得，，即，故 ，∴． 【解析四】由得，，即对任意的恒成立． 当时，总有，. 只需考虑的情形，得. 设(>1)，则， 上为增函数. 由得，，即，故 ，∴． 例3 对于任意实数，不等式恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析一】将变形为，（说明：将参数移至一边） 两边同时乘x得（说明：目的是凑右边的结构） 即（说明：目的是凑左右两边的结构相同）（#） 设，则，单增 故由（#）得， 再令，则，易知当 所以，即. 【解析二】将变形为，即 设，易知单增 故（以下同解法一，从略）. 点评： （1） 为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的恒等变形的方法有：，