第17天 第二十一预习之三一元二次方程的应用-2021年八升九数学暑假复习+预习专题（人教版）

第17天 第二十一章预习专练三 一元二次方程的应用 【知识点梳理】 知识点一、列一元二次方程解应用题的一般步骤 1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系. 2.解决应用题的一般步骤： 　　　审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)； 　　　设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)； 　　　列(根据题目中的等量关系，列出方程)； 　　　解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)； 验（检验方程的解能否保证实际问题有意义） 　　　答(写出答案，切忌答非所问). 知识点诠释： 列方程解实际问题的三个重要环节： 　　　一是整体地、系统地审题； 　　　二是把握问题中的等量关系； 　　　三是正确求解方程并检验解的合理性. 知识点二、一元二次方程应用题的主要类型 1.数字问题 (1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位数. 如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为：100c+10b+a. 　 (2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1. 　　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1. 　　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2. 　　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2. 2.平均变化率问题 　　列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次. (1)增长率问题： 　　平均增长率公式为 (a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.) (2)降低率问题： 　　平均降低率公式为 (a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.) 3.利息问题 (1)概念： 　　本金：顾客存入银行的钱叫本金. 　　利息：银行付给顾客的酬金叫利息. 　　本息和：本金和利息的和叫本息和. 　　期数：存入银行的时间叫期数. 　　利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率. (2)公式: 　　利息=本金×利率×期数 　　利息税=利息×税率 　　本金×(1+利率×期数)=本息和 　　本金×[1+利率×期数×(1-税率)]=本息和(收利息税时) 4.利润(销售)问题 　　利润(销售)问题中常用的等量关系： 　　利润=售价-进价(成本) 　　总利润=每件的利润×总件数 　　 5.形积问题 　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程. 知识点诠释： 列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想. 【典型例题】 类型一、数字问题 1．已知两个数的和等于12，积等于32，求这两个数是多少． 【答案与解析】 设其中一个数为x，那么另一个数可表示为(12-x)，依题意得x(12-x)＝32， 整理得x2-12x+32＝0 解得 x1＝4，x2＝8， 当x＝4时12-x＝8； 当x＝8时12-x＝4． 所以这两个数是4和8． 【总结升华】 数的和、差、倍、分等关系，如果设一个数为x，那么另一个数便可以用x表示出来，然后根据题目条件建立方程求解． 类型二、平均变化率问题 2． 2010年5月中央召开了新疆工作座谈会，为实现新疆跨越式发展和长治久安，作出了重要战略决策部署．为此我市抓住机遇，加快发展，决定今年投入5亿元用于城市基础设施维护和建设，以后逐年增加，计划到2012年当年用于城市基础设施维护与建设资金达到8.45亿元． (1)求从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率； (2)若2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率相同，预计我市这三年用于城市基础设施维护和建设资金共多少亿元? 【答案与解析】 (1)设从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均增长率为x，由题意得5(1+x)2＝8.45． 解得x1＝30%，x2＝-2.3(不合题意，舍去)． 答：从2010年至2012年我市每年投入城市基础设施维护和建设资金的年平均