第16天 第二十一预习之二根的判别式及根与系数的关系-2021年八升九数学暑假复习+预习专题（人教版）

第16天 第二十一章预习专练二 根的判别式及根与系数的关系 【知识点梳理】 知识点一、一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式 一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即 （1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根. 知识点诠释： 利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中， （1）方程有两个不相等的实数根﹥0； （2）方程有两个相等的实数根=0； （3）方程没有实数根﹤0. 知识点诠释： （1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 知识点二、一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是， 那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用 (1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； (3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如： ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥； ⑦； ⑧； ⑨； ⑩． (4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是. (5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号． 当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号． 当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大． 知识点诠释： （1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱； （2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）． 【典型例题】 类型一、一元二次方程根的判别式的应用 1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1) 2x2+3x-4=0 　 (2)ax2+bx=0(a≠0) 【答案与解析】 (1) 2x2+3x-4=0 　　　　　a=2, b=3, c=-4,  　　　　 ∵Δ=b2-4ac=32-4×2×(-4)=41>0  　 ∴方程有两个不相等的实数根. (2)∵a≠0, ∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零，  　　　　 ∵Δ=b2-4·a·0=b2,  　　　　 ∵无论b取任何关数，b2均为非负数， 　　　　 ∴Δ≥0，　　故方程有两个实数根. 【总结升华】根据的符号判定方程根的情况. 2．关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 　 　． 【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k＜2且k≠1； 【解析】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0， 解得：k＜2且k≠1． 故答案为：k＜2且k≠1． 【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件. 类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用 3．已知方程的一个根是2，求另一个根及k的值． 【思路点拨】 根据方程解的意义，将x＝2代入原方程，可求k的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根． 【答案与解析】 方法一：设方程另外一个根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得，，从而解得：，k＝-7． 方法二：将x＝2代入方程，得5×22+2k-6＝0，从而k＝-7． 设另外一根为x1，则由一元二次方程根与系数的关系， 得，从而， 故方程的另一根为，k的值为-7． 【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系，易得另一根及k的值． 【夯实训练】 一．选择题（共9小题） 1．关于x的一元二次方程x2﹣6x+m＝0有两个不相等的实数根，则m的值可能是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【解答】解