第09天 第十八章解答题专练-2021年八升九数学暑假复习+预习专题（人教版）

第09天 第十八章解答题专练 【知识网络】 【知识练习】 1．如图，在△ABC中，AD是中线，AE是角平分线，点F在AE上，∠CFA＝90°，试判断DF与AB的位置关系，并说明理由． 【解答】解：DF∥AB．理由如下： 如图，延长CF交AB于点G， ∵AE是角平分线， ∴∠GAF＝∠CAF， 在△AGF和△ACF中， ∴△AGF≌△ACF（ASA）， ∴GF＝CF， 即点F是GC的中点， ∵AD是△ABC的中线， ∴点D是BC的中点 ∴DF是△BCG的中位线， ∴DF∥AB． 2．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝2，BC＝6，CD＝2．求证：BD⊥CD． 【解答】证明：∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴BD＝2EF， ∵EF＝2， ∴DB＝4， ∵BD2+CD2＝42+（2）2＝62＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴BD⊥CD． 3．如图，在平行四边形ABCD中，点G在CD上，点H在AB上，且DG＝BH，点E，F在AC上，且AE＝CF，连接GF，FH，HE，EG．求证：四边形EHFG是平行四边形． 【解答】证明：在平行四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠GCF＝∠HAE， ∵DG＝BH， ∴GC＝AH， 在△AEH与△CFG中， ， ∴△AEH与△CFG（SAS）， ∴GF＝EH，∠AEH＝∠GFC， ∴∠FEH＝∠EFG， ∴GF∥EH， ∴四边形EGFH是平行四边形． 4．如图1，AD是△ABC的中线，点E是AD中点，过A作AF∥BC交BE的延长线于F，连CF． （1）求证：四边形ADCF是平行四边形； （2）如图2，若AB⊥AC，请直接写出与线段AD相等的线段． 【解答】（1）证明：∵点E是AD中点， ∴AE＝DE， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠EBD． 在△AEF和△DEB中, , ∴△AEF≌△DEB（AAS）． ∴AF＝BD． ∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝DC， ∴AF＝DC． 又∵AF∥BC， ∴四边形ADCF为平行四边形； （2）解:和AD相等的线段有BD、CD、AF、CF， 理由如下： ∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线， ∴AD＝BC＝DC， ∵四边形ADCF是平行四边形， ∴平行四边形ADCF是菱形， ∴AD＝BD＝AF＝CF＝CD． 5．如图，在▱ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥DB，且CF＝DE，连接AE，BF，EF． （1）求证：∠AED＝∠BFC； （2）若∠ABE+∠BFC＝180°，四边形ABFE是什么特殊四边形？请说明理由． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵CF∥DB， ∴∠BCF＝∠DBC， ∴∠ADB＝∠BCF 在△ADE与△BCF中 ， ∴△ADE≌△BCF（SAS）， ∴∠AED＝∠BFC； （2）四边形ABFE是菱形， 理由：∵CF∥DB，且CF＝DE， ∴四边形CFED是平行四边形， ∴CD＝EF，CD∥EF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴AB＝EF，AB∥EF， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵∠AEB+∠AED＝180°，∠ABE+∠BFC＝180°， ∴∠AEB＝180°﹣∠AED，∠ABE＝180°﹣∠BFC， ∵∠AED＝∠BFC， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE， ∴四边形ABFE是菱形． 6．如图，直线a∥b，AB与a，b分别相交于点A，B，且AC⊥AB，AC交直线b于点C． （1）若∠1＝60°，求∠2的度数； （2）若AC＝5，AB＝12，BC＝13，求直线a与b的距离． 【解答】解：（1）∵直线a∥b， ∴∠3＝∠1＝60°， 又∵AC⊥AB， ∴∠2＝90°﹣∠3＝30°； （2）如图，过A作AD⊥BC于D，则AD的长即为直线a与b的距离． ∵S△ABC＝×AB×AC＝×BC×AD， ∴AD＝＝＝， ∴直线a与b的距离为． 7．有这样的一个定理：夹在两条平行线间的平行线段相等．下面经历探索与应用的过程． 探索： 已知：如图1，AD∥BC，AB∥CD．求证：AB＝CD． 应用此定理进行证明求解． 应用一、已知：如图2，AD∥BC，AD＜BC，AB＝CD．求证：∠B＝∠C； 应用二、已知：如图3，AD∥BC，AC⊥BD，AC＝4，BD＝3．求：AD与BC两条线段的和． 【解答】探索： 证明：如图1， 连接AC， ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA ∵AB∥CD．∴∠BAC＝∠DCA 在△ABC和△CDA中， ， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， ∴AB＝CD； 应用一： 证明：如图2， 作DE∥AB交BC于点E， ∵AD∥BC， ∴AB＝DE ∵AB