第06天 第十七章解答题专练-2021年八升九数学暑假复习+预习专题（人教版）

第06天 第十七章解答题专练 【知识网络】 【知识练习】 1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在边BC上，AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E．若AC＝12，BC＝16，求AE的长． 【解答】解：如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝16， 由勾股定理知：AB＝＝＝20． ∵AD＝BD，DE平分∠ADB交AB于点E． ∴AE＝BE＝AB＝10． 2．用四个完全相同的直角三角形（如图1）拼成一大一小两个正方形（如图2），直角三角形的两直角边分别是a、b（a＞b），斜边长为ccm，请解答： （1）图2中间小正方形的周长　4c　，大正方形的边长为　a+b　． （2）用两种方法表示图2正方形的面积．（用含a，b，c） ①S＝　（a+b）2　； ②S＝　2ab+c2　； （3）利用（2）小题的结果写出a、b、c三者之间的一个等式　a2+b2＝c2　． （4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题： 已知直角三角形的两条腿直角边长分为是a＝8，b＝6，求斜边c的值． 【解答】解：（1）图2中间小正方形的周长4c，大正方形的边长为（a+b）， 故答案为：4c；a+b； （2）图2正方形的面积S＝（a+b）2或S＝2ab+c2， 故答案为：（a+b）2或2ab+c2； （3）∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴a2+b2＝c2． 故答案为：a2+b2＝c2； （4）∵c2＝a2+b2＝82+62＝100， ∴c＝10（负值不合题意，舍去）． 3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．求AE的长． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC＝＝＝6， 连接BE， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， 设AE＝BE＝x，则CE＝8﹣x， 在Rt△BCE中，∵BC2+CE2＝BE2， ∴62+（8﹣x）2＝x2， 解得x＝， ∴AE＝． 4．综合与实践． 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明颇感兴趣，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者． （1）我国汉代数学家赵爽创制了一幅如图1所示的用4个全等的直角三角形拼成的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AC＝b，BC＝a，AB＝c，请你利用这个图形说明a2+b2＝c2． （2）业余数学爱好者向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△ABC和Rt△DAE按如图2所示的方式放置，∠DAB＝∠B＝90°，AB＝AD＝c，BC＝AE＝a，AC＝DE＝b．请你利用这个图形说明c2+a2＝b2．（提示：连接EC，CD） 【解答】解：（1）∵大正方形面积为c2，直角三角形面积为ab，小正方形面积为（b﹣a）2， ∴c2＝4×ab+（a﹣b）2＝2ab+a2﹣2ab+b2， 即c2＝a2+b2； （2）连接EC，CD， ∵Rt△ABC≌Rt△DAE， ∴∠ACB＝∠AED，∠ABC＝∠BAD＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°＝∠BAC+∠AED， ∴∠AFE＝90°， ∴AC⊥DE， ∵四边形ABCD的面积＝（BC+AD）×AB＝， 四边形AECD的面积＝S△AEC+S△ACD＝AC×DE＝b2， ∴△BEC的面积＝四边形ABCD的面积﹣四边形AECD的面积＝﹣b2＝ac﹣a2， ∴c2+a2＝b2． 5．知识探究： 如图1是两直角边长分别为m，n（m＞n）的直角三角形，如果用四个与图1完全一样的直角三角形可以拼成如图2和图3的几何图形．其中图2和图3的四边形ABCD、四边形EFGH都是正方形．请你根据几何图形部分与整体的关系完成第（1）（2）题． 请选择（m+n）2，（m﹣n）2，mn中的有关代数式表示： 图2中正方形ABCD的面积：　（m﹣n）2+2mn　． 图3中正方形ABCD的面积：　（m+n）2﹣2mn　． （2）请你根据题（1），写出下列三个代数式：（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系　（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn或者（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn．　． 知识应用： （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知：a﹣b＝5，ab＝﹣6，求：（a+b）2的值； ②已知：a＞0，a﹣＝，求：a+的值． 【解答】解：（1）图2中，正方形ABCD面积为AB2， 由图1得AB2＝m2+n2， ∴由图中正方形EFGH面积加上四个直角三角形面积等于正方形ABCD的面积可得： m2+n2＝（m﹣n）2+2mn； 图3中正方形ABCD的面积为AB2＝m2+n2＝（m+n）2﹣2mn． 故答案为：（m﹣n）2+2mn；（m+n）2﹣2mn． （2）∵图2中正方形E