专题1.7 必要条件与充分条件-重难点题型精讲-2021-2022学年高一数学举一反三系列（北师大版2019必修第一册）

专题1.7 必要条件与充分条件-重难点题型精讲 1．命题及相关概念 2．充分条件与必要条件 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． 数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 3. 充要条件 如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 温馨提示：“⇔”的传递性 若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p⇔q，q⇔s，则有p⇔s，即p是s的充要条件． 【题型1 充分条件、必要条件及充要条件的判定】 【方法点拨】 (1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q、q⇒p和p⇔q是否成立，最后得出结论． (2)命题判断法： ①若p⇒q，则称p是q的充分条件，q是p的必要条件． ②若p⇔q，则p是q的充要条件． ③若p⇒q，且qp，则称p是q的充分不必要条件． ④若pq，且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件． ⑤若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件． 【例1】（2021•凌源市模拟）设集合M＝{x|x＞2}，P＝{x|x＜6}，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的（　　） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，再利用x∈M∩P与x∈M∪P之间的关系即可判断出结论． 【解答】解：“x∈M或x∈P”即x∈M∪P，M∪P＝{x|x＞2}∪{x|x＜6}＝R，M∩P＝{x|2＜x＜6}． ∴x∈M∩P⇒x∈M∪P，反之不成立． ∴“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的必要不充分条件． 故选：C． 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、集合之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 【变式1-1】（2020秋•宝安区期末）设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆（∁UC）”是“A∩B＝∅”的（　　） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据条件可得A⊆C且B∩C＝∅，从而得到A∩B＝∅，当A∩B＝∅，存在一个集合C＝A使得A⊆C，B⊆（∁UC），结合充要条件的定义可判定． 【解答】解：∵A⊆C，B⊆（∁UC）即A⊆C且B∩C＝∅ ∴A∩B＝∅， 则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆（∁UC）”是“A∩B＝∅”的充分条件； 当A∩B＝∅，存在一个集合C＝A使得A⊆C，B⊆（∁UC）， 则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆（∁UC）”是“A∩B＝∅”的必要条件； 所以则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆（∁UC）”是“A∩B＝∅”的充要条件． 故选：A． 【点评】本题主要考查了充分条件必要条件的判定，解题的关键是弄清哪个能推导哪个，属于基础题． 【变式1-2】（2021•温州模拟）若a，b，c是△ABC的三条边，则“a2+b2+c2＝ab+bc+ca”是“△ABC是等腰三角形”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等腰三角形的性质进行判断即可． 【解答】解：若“△ABC是等腰三角形”，则当a＝b≠c，则a2+b2+c2＝ab+bc+ca不一定成立， 若a2+b2+c2＝ab+bc+ca，则2a2+2b2+2c2＝2ab+2bc+2ca， 即（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2＝0， 即a﹣b＝0，b﹣c＝0，c﹣a＝0， 则a＝b＝c， 则“△ABC是等腰三角形”成立， 即“a2+b2+c2＝ab+bc+ca”是“△ABC是等腰三角形”充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等腰三角形的性质是解决本题的关键．比较基础． 【变式1-3】（2020秋•北海期末）“关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根为1，2”是“关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为（1，2）”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程之间的关系，讨论a的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：若不等式ax2+bx+c＜0的解集为（1，2）， 则1，2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＞0，则必要性成立， 当a＜0时，若方程ax2+bx+c＝0的两根为1，2， 则ax2+bx+c＜0的解集为（﹣∞，1）∪（2，+∞），即充分性不成立， 即“关于x的方程ax2+bx+c＝0的两根为1