课时练14 一般形式的柯西不等式-高中数学选修4-5【赢在微点】轻松课堂（人教A版）课件PPT

第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 第三讲　 柯西不等式与排序不等式 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 课时练14　一般形式的柯西不等式 ►►见学生用书P035 课堂轻松练知识点·微过关 课后巩固45分钟跟踪练·微提升 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 作业目标 学法指导 1.理解三维形式的柯西不等式，在此基础上，过渡到柯西不等式的一般形式。 2．会用三维形式及一般形式的柯西不等式证明有关不等式和求函数的最值。 1.柯西不等式的一般结构为(aeq \o\al(2,1)＋aeq \o\al(2,2)＋…＋aeq \o\al(2,n))(beq \o\al(2,1)＋beq \o\al(2,2)＋…＋beq \o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，在利用柯西不等式证明不等式时，关键是正确构造左边的两个数组，从而利用题目的条件正确解题。 2．要求ax＋by＋z的最大值，利用柯西不等式(ax＋by＋z)2≤(a2＋b2＋12)(x2＋y2＋z2)的形式，再结合已知条件进行配凑，是常见的变形技巧。对于许多不等式问题，用柯西不等式来解往往是简明的，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 课堂轻松练 知识点·微过关 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识点1 利用柯西不等式证明不等式 1．已知x，y，z为实数，求证(x＋2y＋3z)2≤14(x2＋y2＋z2)。 证明　由柯西不等式可知(12＋22＋32)·(x2＋y2＋z2)≥(x＋2y＋3z)2，则(x＋2y＋3z)2≤14(x2＋y2＋z2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(当且仅当\f(1,x)＝\f(2,y)＝\f(3,z)时等号成立))。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识点2 利用柯西不等式求最值 2.已知x，y，z>0，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是(　　) A．1 B.eq \f(1,3) C.eq \f(1,2) D．3 答案　B 解析　由柯西不等式得(x2＋y2＋z2)·(12＋12＋12)≥(x＋y＋z)2＝1，即x2＋y2＋z2≥eq \f(1,3)，当且仅当x＝y＝z＝eq \f(1,3)时等号成立，故所求最小值为eq \f(1,3)。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 3．已知a，b，c∈R，a＋2b＋3c＝6，则a2＋4b2＋9c2的最小值为________。 答案　12 解析　由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a2＋4b2＋9c2)≥(a＋2b＋3c)2＝36，即a2＋4b2＋9c2≥12，当且仅当a＝2b＝3c＝2时等号成立，所以a2＋4b2＋9c2的最小值为12。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识点3 一般形式柯西不等式的应用 4.设a1，a2，…，an为正数，求证：eq \f(a\o\al(2,1),a2)＋eq \f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq \f(a\o\al(2,n),a1)≥a1＋a2＋…＋an。 证明　由柯西不等式，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a\o\al(2,1),a2)＋\f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋\f(a\o\al(2,n),a1)))(a2＋a3＋…＋a1)≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1,\r(a2))·\r(a2)＋\f(a2,\r(a3))·\r(a3)＋…＋\f(an,\r(a1))·\r(a1)))2＝(a1＋a2＋…＋an)2， 故eq \f(a\o\al(2,1),a2)＋eq \f(a\o\al(2,2),a3)＋…＋eq \f(a\o\al(2,n),a1)≥a1＋a2＋…＋an。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 课后巩固45分钟 跟踪练·微提升 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 ——第1级　/　夯实基础练—— 1．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值为(　　) A.eq \f(5,3)，eq \f(10,9)，eq \f(5,6) B.eq \f(20,29)，e