专题09：第三讲 二.一般形式的柯西不等式随堂练习-【上课小助手】2020-2021学年高中数学同步备课系列（人教A版选修4-5）

专题09：第三讲 二.一般形式的柯西不等式随堂练习（解析版） 一、单选题 1．若 ，则 的最大值（ ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】A 【分析】 利用条件构造柯西不等式 ，即可求出结论. 【详解】 根据柯西不等式可得： ，当且仅当 ， 即 时，等号成立. 故选:A. 【点睛】 本题考查应用柯西不等式求最值，属于基础题. 2．已知 ， ，则 的最大值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】 利用柯西不等式求解. 【详解】 ， 当且仅当 时取等号. ∴ 的最大值是 故选：A 【点睛】 本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题. 3．已知 ， ， 均为正数，若 ，则 的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用柯西不等式可得最小值． 【详解】 因为 当且仅当 时等号成立，故所求最小值为 ，故选A． 【点睛】 一般地，如果 ， 是实数，那么 ，进一步地， （1）如果 ，那么 有最小值 ，当且仅当 时取最小值； （1）如果 ，那么 有最大值 ，当且仅当 时取最大值． 4．若正数 满足 ，且 ，则实数 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 不等式化为 ，左边 ，利用柯西不等式求出最小值即可求解. 【详解】 不等式化为 ， 左边 ， 所以 ， 实数 的取值范围为 . 故选：D 5．已知实数 满足 ，则 的最小值是( ) A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】 由柯西不等式得 ， 即可算出答案. 【详解】 由柯西不等式得 ， 则 ， 当且仅当“ ”时取等号. 故 的最小值是 . 故选：C 【点睛】 本题考查的是利用柯西不等式求最值，解答的时候要注意写上等号成立的条件，属于基础题. 6．若 ，则 的最大值（ ） A．9 B．3 C．1 D．6 【答案】B 【分析】 利用条件构造柯西不等式 即可 【详解】 解：由题得 ， 所以 ，所以 ， 所以 的最大值为3 故选：B. 【点睛】 考查柯西不等式求最值，基础题. 7．已知 ， ， ，且 ，则 的最大值为（） A．3 B． C．18 D．9 【答案】B 【分析】 先利用柯西不等式求得 的最大值，由此求得 的最大值. 【详解】 由柯西不等式得： EMBED Equation.DSMT4 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，故选B. 【点睛】 本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题. 8．已知，则的最小值是( ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由条件利用柯西不等式得，，由此求得的最小值． 【详解】 解：因为，根据柯西不等式， 可得， ， 故，当且仅当时取等号，故的最小值为，所以选D． 【点睛】 本题主要考查柯西不等式的简单应用． 9．若 ，则 的最大值（ ） A．9 B．3 C．1 D．27 【答案】B 【分析】 利用柯西不等式 求解. 【详解】 由题得 ， 所以 所以-3≤x+y+3z≤3. 所以 的最大值为3. 故选B 【点睛】 本题主要考查柯西不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 10．若实数x＋y＋z＝1，则2x2+y2+3z2 的最小值为(  ) A．1 B． C． D．11 【答案】C 【解析】 由柯西不等式可知：（x+y+z）2≤（2x2+y2+3z2）（ +12+ ）， 故2x2+y2+3z2≥ ，即：x2+2y2+3z2的最小值为 . 故答案为C. 二、填空题 11．已知 ， ， ， ，则 的最大值为_______． 【答案】3 【分析】 利用柯西不等式，即可求解； 【详解】 由 ， ， ， ，和柯西不等式可得： ( ， 所以 ， 即 的最大值为3. 故答案为3 【点睛】 本题主要考查不等式在最值问题中的应用，柯西不等式时解决此类问题的一种重要方法，难度较小. 12．若 ，则 的最小值为__________ 【答案】 【分析】 本题可根据柯西不等式得出 ，然后通过化简即可得出结果. 【详解】 根据柯西不等式可得 ， 因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号， 故答案为: . 【点睛】 本题考查柯西不等式，柯西不等式公式 ， 考查计算能力，是简单题. 13．设 为正数， ，则 的最大值是___________ 【答案】 【分析】 根据柯西不等式直接求最值. 【详解】 当且仅当 时取等号 ，即 的最大值是 故答案为： 【点睛】 本题考查利用柯西不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．三棱锥的四个顶点都在半径为4的球面上，且三条侧棱两两互相垂直，则该三棱锥侧面积的最大值为________________. 【答案】32 【解析】 试题分