课时练12 反证法与放缩法-高中数学选修4-5【赢在微点】轻松课堂（人教A版）课件PPT

第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 第二讲　 证明不等式的基本方法 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 课时练12　反证法与放缩法 ►►见学生用书P027 课堂轻松练知识点·微过关 课后巩固45分钟跟踪练·微提升 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 作业目标 学法指导 1.了解反证法和放缩法在证明不等式中的应用。 2．掌握用反证法和放缩法证明不等式的具体过程。 3．在具体问题中能合理选择证明不等式的方法，培养综合的数学证明能力。 1.当证明的结论中含有“不是”“不都”“不存在”“至少有一个”等词语时，适于应用反证法，因为此类问题的反面比较具体。 2．放缩法常用结论有： (1)eq \f(1,\r(k))＝eq \f(2,\r(k)＋\r(k))>eq \f(2,\r(k)＋\r(k＋1))＝2(eq \r(k＋1)－eq \r(k))， eq \f(1,\r(k))＝eq \f(2,\r(k)＋\r(k))<eq \f(2,\r(k)＋\r(k－1))＝2(eq \r(k)－eq \r(k－1))(k∈ N＋，k>1)； (2)eq \f(1,k2)<eq \f(1,kk－1)＝eq \f(1,k－1)－eq \f(1,k)，eq \f(1,k2)>eq \f(1,kk＋1)＝eq \f(1,k)－eq \f(1,k＋1)(程度大)； (3)eq \f(1,k2)<eq \f(1,k2－1)＝eq \f(1,k－1k＋1)＝eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,k－1)－\f(1,k＋1)))(程度小)。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 课堂轻松练 知识点·微过关 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识点1 反证法证明不等式 1．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根 答案　A 解析　依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定。方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 2．设a，b，c均为实数，且a＝x2－2y＋eq \f(π,2)，b＝y2－2z＋eq \f(π,3)，c＝z2－2x＋eq \f(π,6)，求证：a，b，c中至少有一个大于0。 证明　假设a，b，c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0， ∴a＋b＋c≤0，而a＋b＋c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2－2y＋\f(π,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y2－2z＋\f(π,3)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z2－2x＋\f(π,6))) ＝(x2－2x)＋(y2－2y)＋(z2－2z)＋π ＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3， ∴a＋b＋c>0，这与a＋b＋c≤0矛盾， 所以假设不成立，故a，b，c中至少有一个大于0。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识点2 放缩法证明不等式 3.若A＝1＋eq \f(1,\r(2))＋eq \f(1,\r(3))＋…＋eq \f(1,\r(n))(n∈N＋)，则A与eq \r(n)的大小关系是________。 答案　A≥eq \r(n) 解析　 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 4．已知x>0，y>0，z>0，求证：eq \r(x2＋xy＋y2)＋eq \r(y2＋yz＋z2)>x＋y＋z。 证明　∵x>0，y>0，z>0， ∴eq \r(x2＋xy＋y2)＝ eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(y,2)))2＋\f(3,4)y2)>x＋eq \f(y,2)，① 同理，eq \r(y2＋yz＋z2)＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(z＋\f(y,2)))2＋\f(3,4)y2)>z＋eq \f(y,2)。② ∵由①＋②得eq \r(x2＋xy＋y2)＋eq \r(y2＋yz