课时练11 综合法与分析法-高中数学选修4-5【赢在微点】轻松课堂（人教A版）课件PPT

第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 第二讲　 证明不等式的基本方法 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 课时练11　综合法与分析法 ►►见学生用书P025 课堂轻松练知识点·微过关 课后巩固45分钟跟踪练·微提升 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 作业目标 学法指导 1.理解综合法、分析法证明不等式的原理和思维特点。 2．掌握综合法、分析法证明简单不等式的方法和步骤。 3．能综合运用综合法、分析法证明不等式。 1.综合法证明不等式中所依赖的已知不等式主要是重要不等式，其中常用的有如下几个：①a2≥0(a∈R)。②(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有：a2＋b2≥2ab，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2≥ab。a2＋b2≥eq \f(1,2)(a＋b)2。③若a，b为正实数，则eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)。特别地eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)≥2。④a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca。 2．对于不等式的证明，一般要会综合运用比较法、分析法、综合法等证明简单的不等式。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 课堂轻松练 知识点·微过关 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识点1 综合法证明不等式 1．已知a，b，c∈R＋，求证：(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc。 证明　∵a，b∈R＋，∴a＋b≥2eq \r(ab)>0，① 同理b＋c≥2eq \r(bc)>0，② c＋a≥2eq \r(ca)>0，③ ①×②×③，得(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识点2 分析法证明不等式 2.已知a，b，c均为正数，求证： eq \r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq \f(a＋b＋c,3)。 证明　∵a，b，c均为正数，∴a＋b＋c>0。 欲证 eq \r(\f(a2＋b2＋c2,3))≥eq \f(a＋b＋c,3)， 只要证eq \f(a2＋b2＋c2,3)≥eq \f(a＋b＋c2,9)， 只要证3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca， 即证(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≥0。 上述不等式显然恒成立，故原不等式成立。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 知识点3 分析综合法证明不等式 3.已知a，b，c∈R＋，且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥eq \r(3)。 证明　要证a＋b＋c≥ eq \r(3)，由于a，b，c∈R＋， 因此只需证(a＋b＋c)2≥3， 即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3。 根据条件ab＋bc＋ca＝1，只需证a2＋b2＋c2≥1＝ab＋bc＋ca。 而上式可以由ab＋bc＋ca≤eq \f(a2＋b2,2)＋eq \f(b2＋c2,2)＋eq \f(c2＋a2,2)＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c＝eq \f(\r(3),3)时，等号成立)证得。 故a＋b＋c≥ eq \r(3)。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 课后巩固45分钟 跟踪练·微提升 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 ——第1级　/　夯实基础练—— 1．有下列三个不等式：①a<0<b；②b<a<0；③b<0<a。其中是eq \f(1,a)<eq \f(1,b)的充分条件的有(　　) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 答案　A 解析　①a<0<b⇒eq \f(1,a)<eq \f(1,b)；②b<a<0⇒eq \f(1,a)<eq \f(1,b)；③b<0<a⇒eq \f(1,a)>eq \f(1,b)。故选A。 第*页 返回导航 赢在微点 匠心筑梦 轻松课堂 数学 选修4-5 2．若1<x<10，则下列不等式中正确的是(　　) A．(lgx)2<lgx2<lg(lgx) B．lgx2<(lgx)2<lg(lgx) C．(lgx)2<lg(lgx)<lgx2 D．lg(lgx)<(lgx)2<lgx2 答案　D 解析　因为1<x<10，所以0<lgx<1,0<(lgx)2<1,0<lgx2<2，lg(lgx)<0。又(lgx)2－lgx2＝(lgx)2－2lgx＝lgx(lgx－2)<0，所以(lgx)2<lgx