专题1.12 二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质（拓展提高）-【挑战满分】2021-2022学年九年级数学上册拔尖题精选精练（浙教版）

专题1.12 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质（拓展提高） 一、单选题 1．如图，抛物线 的对称轴为直线，若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，则 的取值错误的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知抛物线的对称轴，可求出m=4，进而求出抛物线的解析式；把关于x的一元二次方程有解的问题，转化为抛物线 与直线y=t的交点问题，可求出t的取值范围；最后将所给的四个选项逐一与t的范围加以对照，即可得出正确答案． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=2, ∴ 解得，m=4． ∴抛物线的解析式为 当x=2时， ∴抛物线的顶点坐标为（2，4）． 当x=1时， 当x=3时， ∵关于x的一元二次方程是 ， ∴ ． ∵方程 在 的范围内有解， ∴抛物线 与直线y=t在 范围内有公共点，如图所示． 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、与一元二次方程的关系等知识点，熟知二次函数的对称轴、顶点坐标的计算方法是解题的基础，而熟知二次函数与一元二次方程的互相转化是解题的关键． 2．已知函数 ，若函数在0≤x≤1上的最大值是2，则a的值为（ ） A．﹣2 B．﹣6 C．﹣2或3 D．﹣6或 【答案】D 【分析】先求得其对称轴为x＝ a，再分 a＜0、0≤ a≤1和 a＞1根据二次函数的单调性分别求得其最大值，由最大值为2，可求得a的值． 【详解】∵ ， ∴其对称轴为x＝ a，开口向下， 当 a＜0即a＜0时，在0≤x≤1上y随x的增大而减小， ∴当x＝0时有最大值，最大值＝﹣ a+ ＝2， 解得a＝﹣6＜0，符合题意； 当0≤ a≤1即0≤a≤2时，y的最大值＝﹣ a2+ a2﹣ a+ ＝2， ∴a＝3（不合题意，舍去），或a＝﹣2（舍去）； 当 a＞1即a＞2时，在0≤x≤1上y随x的增大而增大， ∴当x＝1时，有最大值＝﹣1+a﹣ a+ ＝2， ∴a＝ ， 综上可知a的值为﹣6或 ． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数的图像与性质，分类讨论是解题的关键. 3．若关于x的二次函数y＝ax2+bx的图象经过定点（1，1），且当x＜﹣1时y随x的增大而减小，则a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意开口向上，且对称轴− ≥−1，a＋b＝1，即可得到− ≥−1，从而求解． 【详解】由二次函数y＝ax2+bx可知抛物线过原点， ∵抛物线定点（1，1），且当x＜-1时，y随x的增大而减小， ∴抛物线开口向上，且对称轴− ≥−1，a＋b＝1， ∴a＞0，b＝1﹣a， ∴﹣ ≥﹣1， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根据题意得关于a的不等式组是解题的关键． 4．如图，二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，与 轴正半轴交于点 ，它的对称轴为直线 ．则下列选项中① ；② ；③ ；④ ：⑤当 （ 为实数）时， ，其中正确的有（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】由图象开口向上，可知a＞0，与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0，根据对称轴方程得到b＞0，于是得到abc＞0，故①错误；根据二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的交点，得到b2-4ac＞0，求得4ac-b2＜0，故②错误；根据对称轴方程得到b=2a，当x=-1时，y=a-b+c＜0，于是得到c-a＜0，故③错误；当x=1时，y=a+b+c>0，故④正确；当x=-n2-2（n为实数）时，代入解析式得到y=ax2+bx+c=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c，于是得到y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正确． 【详解】解：①由图象与y轴的交点在x轴的上方，可知c＞0， 又对称轴方程为x=-1，所以- =-1，所以b=2a， ∵ ∴ ∴abc＞0，故①错误； ②∵二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点， ∴b2-4ac＞0， ∴4ac-b2＜0，故②错误； ③∵- =-1， ∴b=2a， ∵当x=-1时，y=a-b+c＜0， ∴a-2a+c＜0， ∴c-a＜0，故③错误； ④当x=1时，y=a+b+c>0，故④正确； ⑤当x=-n2-2（n为实数）时，y=ax2+bx+c=a（-n2-2）2+b（-n2-2）+c=an2（n2+2）+c， ∵a＞0，n2≥0，n2+2＞0， ∴y=an2（n2+2）+c≥c，故⑤正确， ∴正确的结论有：④⑤，共2个 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键． 5．已知二次函数 （ ， ）的图象经过点 ， ，与x轴交于点 ，点 （点A在点