2.2 直线与圆的位置关系（B 能力培优练）-2021-2022学年高二数学上学期同步双培优检测（苏教版2019选择性必修第一册）

2.2直线与圆的位置关系 B 能力培优练 1．对圆上任意一点，若的值都与，无关，则实数的取值范围是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】 将转化为，然后根据几何意义进行解题即可. 【详解】 等价于圆上任意一点到直线和直线的距离的差的5倍，而距离之差与，无关，则直线与圆相切或相离，且与直线位于圆的同侧，所以，即或，由于直线与直线位于圆的同侧，所以 故选：A. 2．不经过坐标原点的直线被曲线截得的弦的长度等于，则直线与坐标轴围成的三角形的外接圆方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 由曲线方程可得到其圆心和半径，利用垂径定理可构造方程求得的值，从而得到直线方程，进而得到与坐标轴的交点坐标；根据直角三角形外心为斜边中点可求得所求的圆心坐标和半径，由此可得所求圆的方程. 【详解】 曲线的方程可整理为：，则曲线为圆心为，半径为的圆； 圆心到直线的距离，， 解得：或，又不经过坐标原点，，即， 与坐标轴的交点坐标为，， 直线与坐标轴围成的三角形的外接圆圆心为中点，半径， 所求外接圆方程为，即. 故选：A. 【点睛】 方法点睛：圆的弦长的求法： （1）几何法，设圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数法，设直线与圆相交于，，联立直线与圆的方程，消去得到一个关于的一元二次方程，从而可求出，，根据弦长公式，即可得出结果. 3．已知曲线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 将圆的一般方程转化为标准方程，求得圆的圆心坐标及半径，将有三个公共点转化为两条直线与圆的交点问题，即可求出结果. 【详解】 ， ，或， 圆心（2,3）到的距离，所以与相切于点（2,4）， 与交于不同的三点，即要求与有2个交点，且不交于（2,4）， 记为圆心（2,3）到的距离 又因为不经过（2,4） 故选：D 【点睛】 关键点点睛：解答本题的关键是转化，将其转化为直线与圆的位置关系，即可得到结果，需要注意特殊点的考虑. 4．为上一点，为直线上一点，则线段长度的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 将圆的方程化为标准方程，求出圆心到直线的距离，减去半径可得出的最小值. 【详解】 圆的标准方程为，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以圆上的点到直线上的点的最小距离， 故选：A． 【点睛】 结论点睛：若直线与圆相离，点是半径为的圆上的一点，圆心到直线的距离为，则点到直线的距离的取值范围是. 5．若实数满足，则最大值是（ ） A．4 B．18 C．20 D．24 【答案】C 【分析】 当时，解得；当，令，可得，设，，则问题等价于和有公共点，观察图形可求解. 【详解】 当时，解得，符合题意； 当时，令，则，又，则，即， 则原方程可化为， 设，，， 则表示斜率为的直线，表示以原点为圆心，半径为的四分之一圆， 则问题等价于和有公共点，观察图形可知， 当直线与圆相切时，由，解得， 当直线过点时，，解得， 因此，要使直线与圆有公共点，， 综上，，故的最大值为20. 故选：C. 【点睛】 关键点睛：解题得关键是令，将问题转化为直线与圆有公共点. 6．过直线上一点作圆：的两条切线，切点分别为，，直线与，轴分别交于点，，则（ ） A．点恒在以线段为直径的圆上 B．四边形面积的最小值为4 C．的最小值为 D．的最小值为4 【答案】BCD 【分析】 对于A，由动点及圆的性质即可判断； 对于B，连接，利用切线的性质将四边形的面积用表示，进而利用点到直线的距离公式求解； 对于C，由点，在以为直径的圆上可求得直线的方程，进而得到该直线过定点，最后数形结合即可得解； 对于D，先由直线的方裎得到点，的坐标，进而得到，最后利用基本不等式即可求解． 【详解】 对于A，在四边形中，不一定是直角，故A错误； 对于B，连接，由题易知，所以四边形的面积，又的最小值为点到直线的距离，即，所以四边形面积的最小值为，B正确； 设，则以线段为直径的圆的方程是，与圆的方程相减，得，即直线的方程为，又点在直线上，所以，则，代入直线的方程，得，即，令，则，得，，所以直线过定点，所以，数形结合可知的最小值为，C正确； 在中，分别令，得到点，，所以，因为点在直线上，所以且，，则，当且仅当时等号成立，所以的最小值为4，D正确． 故选：BCD. 【点睛】 结论点睛：与圆的切线有关的结论： （1）过圆上一点的切线方程为； （2）过圆：外一点作圆的两条切线，切点分别为，，则切点弦所在直线的方程为． 7．关于下列命题，正确的是（ ） A．若点在圆外，则或 B．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 C．已知圆：与直线，对于任意的，总存在使直线与圆恒相切 D．已知点是直线