2.1 圆的方程（B 能力培优练）-2021-2022学年高二数学上学期同步双培优检测（苏教版2019选择性必修第一册）

2.1圆的方程 B 能力培优练 1．点为圆上任意一点，直线过定点，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 由直线方程可构造方程组求得定点，由圆的方程确定圆心坐标和半径，则. 【详解】 整理直线方程得：， 由得：，， 由圆的方程知圆心，半径， . 故选：D. 【点睛】 结论点睛：若圆心与圆外一点间距离为，圆的半径为，则圆外一点到圆上的点的距离最大值为，最小值为. 2．已知曲线与x轴交于M，N两点，与y轴交于P点，则外接圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设外接圆的方程为，分别令，结合韦达定理求得D,E,F,代入即可求得圆的方程. 【详解】 设外接圆的方程为，点Q是的外接圆与y轴的另一个交点， 分别令，则，． 设，则，又曲线与x轴交于M，N两点， 则，，，，，所以，， 故外接圆的方程． 故选：C. 3．已知圆：与圆：交于、两点，则线段的垂直平分线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先写出两圆的圆心的坐标，再求出两圆的连心线所在直线的方程即得解. 【详解】 圆：的圆心坐标为，圆：的圆心为， 由题得线段的垂直平分线就是两圆的连心线， 所以, 所以线段的垂直平分线为. 所以线段的垂直平分线为. 故选：C 【点睛】 方法点睛：求直线的方程常用的方法是：待定系数法，先定式，后定量.要根据已知条件灵活选择方法求解. 4．圆关于直线对称的圆的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出圆心关于直线对称的圆的圆心，即可求解. 【详解】 圆的圆心为，半径， 则不妨设圆心关于直线对称的圆的圆心为，半径为， 则由，解得，故所求圆的方程为. 故选：D 5．点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 设圆上任意一点为，中点为，则，由此得解轨迹方程． 【详解】 设圆上任意一点为，中点为，则， 代入得，化简得． 故选：A． 6．在平面直角坐标系中，设二次函数的图象与直线有两个不同的交点，经过三点的圆记为圆.下列结论正确的是（ ） A．且 B．当时，为钝角 C．圆：（且） D．圆过定点 【答案】ACD 【分析】 将两函数联立消，利用判别式大于零可判断A；利用弦长公式以及余弦定理可判断B；求出的中垂线，圆心在中垂线上，设圆心为，根据，求出圆心，进而求出半径即可判断C；根据C选项，将方程整理成，令即可判断D. 【详解】 对于A，联立，消可得， 二次函数与直线有两个交点，则， 解得，又，故A正确； 对于B，联立消可得， 设，， 则，， 由弦长公式可得 ， 在中，， ， 当时， ， 所以 所以为锐角，故B错误； 对于C，线段的中点为， 则的中垂线为：，设圆心为， 不妨设， 由， 即 整理可得， 即， 解得，所以圆心为， 半径， 所以圆为：， 整理可得（且，故C正确； 对于D，由C：（且）， 整理可得，方程过定点 则 ，解得 ，所以圆过定点，故D正确； 故选：ACD 【点睛】 本题考查了函数与方程的关系、余弦定理、求三角形的外接圆的方程、方程过定点问题，综合性比较强，属于难题. 7．已知二次函数交轴于，两点（，不重合），交轴于点.圆过，，三点.下列说法正确的是（ ） ①圆心在直线上； ②的取值范围是； ③圆半径的最小值为1； ④存在定点，使得圆恒过点. A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【分析】 ①根据二次函数的对称轴是和圆的对称性判断； ②根据二次函数交轴于，两点，由判断； ③分别令，，得到A，B，C的坐标代入，得到判断； ④由③得到圆M的方程为判断； 【详解】 ①因为二次函数的对称轴是，且，两点关于对称，所以圆心在直线上，故正确； ②因为二次函数交轴于，两点，所以 解得且，故错误； ③令，解得，所以，令，得，则，设圆M的方程为：，将A，B，C的坐标代入得：，消去得，所以，即，所以，因为且，所以，故错误； ④圆M的方程为，即，则圆恒过定点，故正确； 故选：AD 【点睛】 本题主要考查二次函数函数的性质以及圆的方程的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 8．设有一组圆，下列命题正确的是（ ）． A．不论如何变化，圆心始终在一条直线上 B．所有圆均不经过点 C．经过点的圆有且只有一个 D．所有圆的面积均为 【答案】ABD 【分析】 求出圆心坐标和半径后可判断A、D的正误，将B、C选项中的点代入圆的方程得到关于的方程，通过方程的有解与否可判断B、C的正误， 【详解】 圆心坐标为，在直线上，A正确； 令，化简得， ∵，∴，无实数根，∴B正确； 由，化简得， ∵，有两不等实根，∴经过点的圆有两个，C错误； 由圆的半径为2，得圆的面积为，D正确． 故选：ABD．