1.5 平面上的距离（B 能力培优练）-2021-2022学年高二数学上学期同步双培优检测（苏教版2019选择性必修第一册）

1.5平面上的距离 B 能力培优练 1．在直角坐标平面内，与点距离为2，且与点距离为3的直线共有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】C 【分析】 根据直线是否存在斜率，分类讨论，利用点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】 当直线不存在斜率时，设为，由题意可知：且， 没有实数使得两个式子同时成立； 当直线存在斜率时，设直线方程为：， 点到该直线的距离为2，所以有， 点到该直线的距离为3，所以有， 由得：或， 当时，代入中，得， 该方程的判别式，该方程有两个不相等的实数根， 当时，代入中，得， 该方程的判别式，该方程有两个相等的实数根， 所以这样的直线共有三条， 故选：C. 【点睛】 关键点睛：本题的关键是解方程组. 2．在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图），若光线QR经过△ABC的重心，则三角形PQR周长等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 建立如图所求的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点坐标，关于轴对称性坐标，由反射性质四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即得． 【详解】 建立如图所求的直角坐标系，得，直线方程为，的重心为， 设，关于直线的对称为， 则，解得，则， 易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线， ∴直线的方程为，即，又直线过， ∴，解得或（舍去），， ∴，， ． 故选：A． 【点睛】 关键点点睛：本题考查直线方程的应用，解题关键是利用对称性，把的三边转化为到同一条直线上，利用直线方程求得点位置，然后得路程的最小值． 3．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为.则“将军饮马“的最短总路程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 作出图形，求出点关于直线的对称点的坐标，在直线上取点，利用、、三点共线时取得最小值即可得解. 【详解】 如下图所示，设点关于直线的对称点为， 由题意可得，解得，即点， 在直线上取点，由对称性可得， 所以，， 当且仅当、、三点共线时，等号成立， 因此，“将军饮马“的最短总路程为. 故选：C. 【点睛】 思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解. 4．已知，，点为直线上的动点，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 设点关于直线的对称点为，列方程组求出，从而，当，，共线时，的最小值为. 【详解】 ，，点为直线上的动点， 设点关于直线的对称点为， 则，解得，，， ， 当，，共线时，的最小值为：． 故选：C． 【点睛】 方法点睛：该题考查的是有关一条直线上的动点到直线同侧两点距离和的最小值问题，解题方法如下： （1）分析图形的特征，求其中一个点关于直线的对称点的坐标； （2）利用线段中垂线上的点到线段两端点距离相等，将距离转化； （3）两点直线直线段最短，利用两点间距离公式求得结果. 5．点到直线：的距离最大时，与的值依次为(　　) A．3，－3 B．5，2 C．5，1 D．7，1 【答案】C 【分析】 将直线方程整理为，可得直线经过定点，由此可得当直线与垂直时的长，并且此时点到直线的距离达到最大值，从而可得结果. 【详解】 直线， 即， 直线是过直线和交点的直线系方程， 由，得， 可得直线经过定点， 当直线与垂直时， 点到直线的距离最大， 的最大值为， 此时轴， 可得直线斜率不存在，即. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查直线的方程与应用，以及直线过定点问题，属于中档题. 探索曲线过定点的常见方法有两种：① 可设出曲线方程 ，然后利用条件建立等量关系进行消元（往往可以化为的形式，根据 求解），借助于曲线系的思想找出定点(直线过定点，也可以根据直线的各种形式的标准方程找出定点). ，从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关. 6．已知直线l：，其中，下列说法正确的是（ ） A．当a＝－1时，直线l与直线x＋y＝0垂直 B．若直线l与直线x－y＝0平行，则a＝0 C．直线l过定点(0，1) D．当a＝0时，直线l在两坐标轴上的截距相等 【答案】AC 【分析】 利用两直线平行、垂直以及过定点和在两轴上的截距分析直线方程的特征，逐项分析，得到结果. 【详解】 对于A项，当a＝－1时，直线l的方程为，显然