第14讲 等腰三角形的轴对称性2-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（苏科版）

第14讲 等腰三角形的轴对称性2 【基础知识】 1、等腰三角形判断定理： 一个三角形的两个相等的角所对的边也相等.（等角对等边） 2、等边三角形： ①性质定理： ⑴等边三角形的三条边都相等； ⑵等边三角形的三个内角都相等，都等于60°； 拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质. ②判断定理： ⑴三条边都相等的三角形是等边三角形； ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形； ⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【考点剖析】 考点一：等腰三角形判断定理 例1．（2021·河北承德市·八年级期末）如图，在 中， ，垂足为 ， 垂直平分 ，交 于点 ，交 于点 ， ，若 的周长为 cm， cm，则 （ ） A． cm B． cm C． cm D． cm 【答案】A 【分析】 根据线段垂直平分线和等腰三角形性质得出AB=AE=CE，能推出2DE+2EC=16，即可求解． 【详解】 解：∵AD⊥BC，BD=DE，EF垂直平分AC ∴AB=AE=EC ∵△ABC周长是26cm，AF=5cm ∴AC=10cm ∴AB+BC=16cm ∴AB+BE+EC=16cm 即2DE+2EC=16cm ∴DE+EC=8cm ∴DC=DE+EC=8cm 故选A． 【点睛】 本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等时解题的关键． 考点二：等边三角形性质定理 例2．（2021·河北唐山市·九年级二模）如图，AD是等边△ABC的中线，AE＝AD，则∠EDC的度数为（ ） A．30° B．20° C．25° D．15° 【答案】D 【分析】 由AD是等边△ABC的中线，根据等边三角形中：三线合一的性质，即可求得AD⊥BC，∠CAD=30°，又由AD=AE，根据等边对等角与三角形内角和定理，即可求得∠ADE的度数，继而求得答案． 【详解】 解：∵AD是等边△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD= ∠BAC= ×60°=30°， ∴∠ADC=90°， ∵AD=AE， ∴∠ADE=∠AED= ， ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°． 故选：D． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用． 考点三：等边三角形判断定理 例3．（2021·江苏九年级专题练习）下列条件中，不能得到等边三角形的是（ ） A．有两个内角是 的三角形 B．有两边相等且是轴对称图形的三角形 C．三边都相等的三角形 D．有一个角是 且是轴对称图形的三角形 【答案】B 【分析】 根据等边三角形的判定解题． 【详解】 解： 、两个内角为 ，根据三角形的内角和为 ，可知另一个内角也为 ，所以该三角形为等边三角形．故不符合题意； 、两边相等说明是等腰三角形或等边三角形，而这两种三角形都满足“轴对称”的条件，所以不能确定该三角形是等边三角形．故符合题意； 、三边都相等的三角形当然是等边三角形．故不符合题意； 、“轴对称”说明该三角形有两边相等，且有一个角是 ，有两边相等且一角为 的三角形是等边三角形．故不符合题意； 故选： ． 【点睛】 本题考查等边三角形的判定，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 【真题演练】 一、选择题 1．（2020·苏州市吴江区盛泽第二中学九年级月考）若一个三角形有两条边相等，且有一内角为 ，那么这个三角形一定为（ ） A．等边三角形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【分析】 根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形求解． 【详解】 解：根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得到该三角形一定为等边三角形． 故选：A． 【点睛】 此题考查了等边三角形的判定，属于基础知识． 2．（2021·江苏九年级专题练习）如图， 中， 是 的平分线， 交 于点 ，若 ， ，则 的长为（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】A 【分析】 由 是 的平分线， ，可证 ，由 ， ,可求 ． 【详解】 解： 中， 是 的平分线， ， ， ∴∠BAD=∠ADE， ， ∵ ， , ， ． 故选： ． 【点睛】 本题考查了角平分线的性质及平行线的性质，根据角平分线的性质结合平行线证出AE=DE是解题的关键． 二、填空题 3．（2021·江苏泰州市·八年级期末）如图，BD、CE是等边三角形ABC的中线，则∠EFD＝_____． 【答案】120°． 【分析】 利用等边三角形的性质得到BD⊥AC，CE⊥AB，∠A＝60°，然后利用四边形的内角和可计算出∠EFD的度数． 【详解】