第13讲 等腰三角形的轴对称性1-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（苏科版）

第13讲 等腰三角形的轴对称性1 【基础知识】 1、等腰三角形： ①性质定理： ⑴等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角） ⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合.（三线合一） 【考点剖析】 考点一：等边对等角 例1．（2021·江苏无锡市·八年级期末）如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若∠BOC＝80°，则∠A＝_____． 【答案】40°． 【分析】 连接OA，根据三角形内角和定理得到∠OBC+∠OCB=100°，根据线段垂直平分线的性质得到AO=BO，AO=CO，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】 解：连接OA， ∵∠BOC＝80°， ∴∠OBC+∠OCB＝100°， ∴∠OAB+∠OBA+∠OAC+∠OCA＝80°， ∵AB、AC的垂直平分线交于点O， ∴AO＝BO，AO＝CO， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA， ∴∠BAC＝∠OAB+∠OAC＝40°， 故答案为：40°． 【点睛】 本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 考点二：三线合一 例2．（2021·江苏淮安市·八年级期末）如图，在△ABC中，AC＝BC，∠A＝28°，观察图中尺规作图的痕迹可知∠BCG为_____度． 【答案】62 【分析】 直接利用基本作图方法得出CF平分∠ACB，再利用等腰三角形的性质得出∠BCG的度数． 【详解】 解：由尺规作图可得：CF平分∠ACB， ∴∠ACG＝∠BCG， ∵AC＝BC，∠A＝28°， ∴∠B＝28°，且CF⊥AB， ∴∠AGC＝∠BGC＝90°， ∴∠BCG＝90°−28°＝62°． 故答案为：62． 【点睛】 此题主要考查了基本作图和等腰三角形的性质，得出CF⊥AB是解题关键． 【真题演练】 一、选择题 1．（2019·苏州市吴江区青云中学八年级月考）已知等腰三角形的一个内角等于 ，则该三角形的一个底角是（ ） A． B． 或 C． 或 D． 【答案】C 【分析】 分已知内角是底角和顶角两种情况讨论即可． 【详解】 解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°； 当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理可得底角是 ． 故选：C． 【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质，分类讨论是正确解答本题的关键． 2．（2020·江苏南通市·八年级月考）如图，在△ABC中，∠BAC=100°，MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（ ） A．20° B．30° C．40° D．80° 【答案】A 【分析】 根据垂直平分线的性质可以得到∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】 ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC ∴BP=PA，CQ=QA， ∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C ， ∵ 又∵∠BAC=100° ∴ ∴ ∴ 故选A． 【点睛】 本题考查垂直平分线与三角形内角和的综合应用，利用垂直平分线的性质得到两对等边和两对等角是解题关键． 二、填空题 3．（2020·沭阳县修远中学八年级期中）如图， 是等腰三角形 的顶角平分线， ，则 等于______． 【答案】5 【分析】 由等腰三角形三线合一性质解题，即等腰三角形中，底边的中线，底边的高，顶角的角平分线三线合一． 【详解】 是等腰三角形，且 平分 （三线合一） 故答案为：5． 【点睛】 本题考查等腰三角形三线合一性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．（2020·江苏徐州市·创新外国语学校八年级月考）如图，在Rt ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为_____________°． 【答案】40° 【分析】 根据直角三角形的性质求得∠AEB=80°；根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则∠C=∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】 解：∵∠B=90°，∠BAE=10°， ∴∠BEA=80°． ∵ED是AC的垂直平分线， ∴AE=EC， ∴∠C=∠EAC． ∵∠BEA=∠C+∠EAC， ∴∠C=40°． 故答案为：40°． 【点睛】 此题考查了线段垂直平分线的性质，涉及到三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质的知识，难度适中． 三、解答题 5．（2019·常熟市外国语初级中学八年级月考）如图，在 中， ， ．求 的度数． 【答案】 【分析】 由题意易得 ，由三角形外角可得 ，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】 解：∵ ， ， ∴ ， 由三角形外角的性质得： ， ∴ ， ∴在 中，由三角形内角和可得： ，即 ， ∴ ． 【点睛】 本题