第12讲 线段、角的轴对称性-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（苏科版）

第12讲 线段、角的轴对称性 【基础知识】 1、线段的垂直平分线： ①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. ②判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 2、角的角平分线： ①性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. ②判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上. 拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等. 【考点剖析】 考点一：线段的垂直平分线 例1．（2020·静宁县阿阳实验学校八年级期末）如图，AB=AC，∠A=40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数． 【答案】30°． 【分析】 先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答． 【详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 考点二：角的角平分线 例2．（2021·河北沧州市·八年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD． （1） 求证：CF＝BE （2） 若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】 （1）由HL证明Rt△CDF≌Rt△EDB，即可得出结论； （2）根据S△ACB=S△ACD+S△ADB结合DC=DE即可求得DE． 【详解】 （1）证明：∵AD平分∠CAB且DE⊥AB，DC⊥AC ∴DE＝DC 在Rt△DCF和Rt△DEB中 ∵ DE＝DC，DF＝BD ∴Rt△DCF≌Rt△DEB， ∴CF＝BE； （2）由（1）得：CD=DE， ∵S△ACB=S△ACD+S△ADB， ∴S△ABC= AC•CD+ AB•DE， 又∵AC=8，AB=10，且△ABC的面积等于24， ∴ ， ∴ ． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握角平分线的性质，证明三角形全等是解题的关键． 【真题演练】 一、选择题 1．（2021·全国七年级课时练习）如图，在 中， 的垂直平分线交 于点 ，如果 ， ，那么 的周长是（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】 由线段垂直平分线的性质得到 ，据此结合三角形周长公式解题． 【详解】 的垂直平分线为 ， ， ， ， 的周长是 ， 故选： ． 【点睛】 本题考查线段垂直平分线的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 2．（2021·全国八年级期末）如图，在 中， 平分 ，交 于点D， ，垂足为点E，若 ，则 的长为（ ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】B 【分析】 根据∠B=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AC，再根据角平分线的性质得到DE=BD=１． 【详解】 ∵ ，∴ ，又∵ 平分 ， ，∴由角平分线的性质得 ． 故选：B 【点睛】 本题主要考查了角平分线的性质，灵活运用角平分线的性质处理问题． 二、填空题 3．（2021·四川成都市·成都铁路中学八年级期中）如图，AD是Rt△ABC的角平分线，∠C＝90°，DC＝6，则D到AB的距离是___． 【答案】6 【分析】 作DE⊥AB于E，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等解答即可． 【详解】 解：作DE⊥AB于E， ∵AD是△ABC的角平分线，∠C=90°，DE⊥AB， ∴DE=DC=6， 故答案为：6． 【点睛】 本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 4．（2021·全国九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝11，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F、G，则△AEG的周长为__． 【答案】11． 【分析】 根据线段垂直平分线的性质可得EA＝EB，GA＝GC，所以可求出△AEG的周长． 【详解】 解∵DE是线段AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， 同理，GA＝GC， ∴△AEG的周长＝AE+EG+GA＝EB+EG+GC＝BC＝11， 故答案为：11． 【点睛】 本题考查了线段垂直平分线的性质．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等． 三、解答题 5．（2021·全国七年级课时练习）如图，已知 、 是 上两点， 、 是 上两点，且 ， ，试问：点 是否在 的平分线上？ 【答案】在，理由见解析 【分析】 过点 分别向 ， 作垂线，垂足分别为E、H，根据面积相等可证 ，可证点 在 的平分