专题08 相似形 -2021年初升高数学无忧衔接（沪教版2020）

专题08 相似形 课程要求 《初中课程要求》 利用三角形一边平行线的判定定理证明两直线平行的一般步骤为： （1）首先观察欲证平行线截哪个三角形； （2）再观察它们截这个三角形的哪两边； （3）最后只须证明这两条边上对应线段成比例即可， 当已知中有相等线段时，常利用它们和同一条线段（或其他相等线段）的比作为中间比. 《高中课程要求》 高中的学习是在初中基础上更高层次的拓展与延伸。 热身练习 一、单选题 1．（2020·重庆复旦中学高一开学考试）如图，在平行四边形中，点在上，连接并延长与的延长线交于点．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据四边形是平行四边形可得，进而可得 【详解】因为四边形是平行四边形，，根据对应边成比例即可求解. 所以，即， 所以， 所以， 所以，解得：， 故选：B. 2．（2020·山东省淄博第一中学高一开学考试）已知：如图，△ABC中，D在AC上，且ADDC=12，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，则BFFC=（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作平行于交于，由平行线分线段成比例定理、比例的性质求得，然后根据三角形中位线的定义知，所以由等量代换证得结论 【详解】解：因为ADDC=12，所以, 作平行于交于，则， 根据比例性质知，， 又E为BD的中点，所以是的中位线， 所以， 所以，即, 故选：B 3．（2020·江苏南通市·启东中学高一开学考试）如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE//AB交AC于点E.如果＝，那么＝（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角平分线的定义，平行线的性质易证，从而求得的值. 【详解】∵AD为的角平分线， ∴∠BAD=∠EAD， ∵DEAB， ∴∠EDA=∠BAD，∴∠EDA=∠EAD ∴， ∵，∴， ∵DEAB， ∴， 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质同时考查了角平分线的定义. 二、填空题 4．（2020·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高一开学考试）如图，在中，，分别与，交于、两点，若，，则______. 【答案】 【分析】根据三角形相似结合条件，可求得的长. 【详解】，则，，， 所以，，可得，，. 故答案为：. 【点睛】本题考查利用三角形相似求线段长，考查计算能力，属于基础题. 三、双空题 5．（2020·山东省淄博第一中学高一开学考试）如图，梯形ABCD中，DCAB，DC=3cm，AB=6cm，且MNPQAB，DM=MP=PA，则MN=___________，PQ=___________. 【答案】4 5 【分析】根据梯形的中位线定理，写出两个关于，的二元一次方程组，利用代入消元法，消去，先解出的长，代入两个方程中的任意一个，求出的长． 【详解】解：因为且，所以根据梯形中位线性质可得：， 令，，则，解得 故答案为：； 知识精讲 1、 平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． 如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 2、 平行线分线段成比例定理的推论 推论1：平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 推论2：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 典例剖析 一、平行线分线段成比例定理 例1.已知：∠1＝∠2，EG平分∠AEC． （1）如图①，∠MAE＝45°，∠FEG＝15°，∠NCE＝75°．求证：AB∥CD； （2）如图②，∠MAE＝140°，∠FEG＝30°，当∠NCE＝　 　°时，AB∥CD； （3）如图②，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD； （4）如图③，请你直接写出∠MAE、∠FEG、∠NCE之间满足什么关系时，AB∥CD． 【答案】（1）见解析；（2）当∠NCE＝80°时，AB∥CD；（3）当2∠FEG+∠NCE＝∠MAE时AB∥CD ；（4）当∠MAE+2∠FEG+∠NCE＝360°时，AB∥CD. 【解析】（1）∵∠1＝∠2 ∴AB∥EF ∴∠MAE＝∠AEF＝45°，且∠FEG＝15° ∴∠AEG＝60° ∵EG平分∠AEC ∴∠AEG＝∠CEG＝60° ∴∠CEF＝75° ∵∠ECN＝75° ∴∠FEC＝∠ECN ∴EF∥CD且AB∥EF ∴AB∥CD （2）∵∠1＝∠2 ∴AB∥EF ∴∠MAE+∠FEA＝180°且∠MAE＝140° ∴∠AEF＝40° ∵∠FEG＝30° ∴∠AEG＝70° ∵EG平分∠AEC ∴∠GEC＝∠AEG＝70° ∴∠FEC＝100° ∵AB∥CD，AB∥EF ∴EF∥CD ∴∠NCE+∠FEC＝18