第10讲 以HL判定全等三角形-【暑假辅导班】2021年新八年级数学暑假精品课程（苏科版）

第10讲 以HL判定全等三角形 【基础知识】 1、全等三角形的判定： ①斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 【考点剖析】 考点一： 例1．（2021·全国八年级专题练习）如图，已知∠C＝∠F＝90°，AC＝DF，AE＝DB，BC与EF交于点O， （1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF； （2）若∠A＝51°，求∠BOF的度数． 【答案】（1）见解析；（2）78° 【分析】 （1）由AE＝DB得出AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE，利用HL即可证明Rt△ABC≌Rt△DEF； （2）根据直角三角形的两锐角互余得∠ABC＝39°，根据全等三角形的性质得∠ABC＝∠DEF＝39°，由三角形外角的性质即可求解． 【详解】 （1）证明：∵AE＝DB， ∴AE＋EB＝DB＋EB，即AB＝DE． 又∵∠C＝∠F＝90°，AC＝DF， ∴Rt△ABC≌Rt△DEF． （2）∵∠C＝90°，∠A＝51°， ∴∠ABC＝∠C－∠A＝90°－51°＝39°． 由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF， ∴∠ABC＝∠DEF． ∴∠DEF＝39°． ∴∠BOF＝∠ABC＋∠BEF＝39°＋39°＝78°． 【点睛】 本题主要考查直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 【真题演练】 一、选择题 1．（2020·浙江八年级期末）如图，在 中， ，D是 上一点， 于点E， ，连接 ，若 ，则 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 证明Rt△BCD≌Rt△BED（HL），由全等三角形的性质得出CD=DE，则可得出答案． 【详解】 解： ， ， 在 和 中， ， ， ， ， cm， cm． 故选：C． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 二、填空题 2．（2021·全国九年级专题练习）如图，在ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BF＝AC，CD＝DF，证明图中两个直角三角形全等的依据是定理__． 【答案】HL． 【分析】 由题意知，两个直角三角形的一条斜边，一条直角边分别对应相等，根据HL即可证明Rt△ACD≌Rt△BFD． 【详解】 解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝∠BDF＝90°， 在Rt△ACD和Rt△BFD中， ， ∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL）． 故答案为：HL． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定．熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 三、解答题 3．（2021·陕西九年级专题练习）如图，已知∠C＝∠D＝90°，BC与AD交于点E，AC＝BD，求证：AE＝BE． 【答案】见解析 【分析】 根据HL定理证明全等即可； 【详解】 证明：∵∠C＝∠D＝90°， ∴△ACB和△BDA是直角三角形， 在Rt△ACB和Rt△BDA中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL）， ∴∠ABC＝∠BAD， ∴AE＝BE． 【点睛】 本题主要考查了三角形全等证明，准确利用已知条件证明是解题的关键． 4．（2019·江苏镇江市·八年级月考）已知：如图，AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DE=BF． 求证：（1）AE=CF； （2）AB∥CD． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【分析】 （1）利用HL定理即可证明△ABF≌△CDE，证明AF=CE，据此即可得到AE=CF； （2）根据△ABF≌△CDE即可证得∠A=∠C，然后利用平行线的判定定理证明． 【详解】 证明：（1）∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEC=∠BFA=90°， ∴在Rt△ABF和Rt△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（HL）； ∴AF=CE， 即AF-EF=CE-EF ∴AE=CF； （2）∵△ABF≌△CDE， ∴∠A=∠C， ∴CD∥AB． 【点睛】 本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的判定，正确证明△ABF≌△CDE是关键． 【过关检测】 一、选择题 1．（2020·广东深圳市·龙华新区实验学校八年级期中）如图，AE＝CF，DE⊥AC，BF⊥AC，若利用“HL”证明△ABF≌△CDE，则需添加的条件是（　　） A．BF＝DE B．∠A＝∠C C．∠B＝∠D D．DC＝BA 【答案】D 【分析】 根据“HL”的判定方法对各项进行判定即可． 【详解】 解：∵AE＝CF，所以AE＋EF＝CF＋EF，即 AF＝ CE， A选项：若添加BF＝DE，可以判定△ABF≌△CDE，判定依据是SAS，所以本选项不符合题意； B选项：若添加∠A＝∠C，可以判定△ABF≌△CDE，判定依据是ASA，所以本选项不符合题意； C选项：若添加∠B＝∠D