2.2 圆的对称性-【帮课堂】2021-2022学年九年级数学上册同步精品讲义（苏科版）

第2章 对称图形----圆 2.2 圆的对称性 目标导航 课程标准 课标解读 1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法； 2.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用，通过实际操作、思考、交流等过程增强学生的实践意识和应用方法. 1、由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。 2、运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。 3、通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念 ，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系； 知识精讲 知识点01 圆的对称性 1、 圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴． 2、 圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 【微点拨】 圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 【即学即练1】1．下列说法不正确的是（ ） A．圆周角的度数等于所对弧的度数的一半 B．圆是中心对称图形，也是轴对称图形 C．垂直于直径的弦必被直径平分 D．劣弧是大于半圆的弧 【答案】D 【分析】 根据中心对称图形定义，圆的基本概念及定理即可判断出来． 【详解】 解：根据圆心角的度数等于它所对的弧的度数，而这条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半，所以A正确； 圆既是中心对称图形，也是轴对称图形，圆心是它的对称中心,它有无数条对称轴，过圆心的直线都是它的对称轴，所以B正确； 根据垂径定理，垂直于弦的直径平分这条弦,所以C正确； 劣弧是小于半圆的弧，所以D不正确； 故选D． 知识点02 弧、弦、圆心角的关系 1、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等． 2、在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等． 【微点拨】 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 【即学即练2】2．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ ） A．1米 B．米 C．2米 D．米 【答案】B 【分析】 连接OC交AB于D，根据圆的性质和垂径定理可知OC⊥AB，AD=BD=3，根据勾股定理求得OD的长，由CD=OC﹣OD即可求解． 【详解】 解：根据题意和圆的性质知点C为的中点， 连接OC交AB于D，则OC⊥AB，AD=BD=AB=3， 在Rt△OAD中，OA=4，AD=3， ∴OD===， ∴CD=OC﹣OD=4﹣， 即点到弦所在直线的距离是（4﹣）米， 故选：B． 知识点03 垂径定理 1.垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【微点拨】 (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即 (2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 【知识拓展】 1、根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. 2、在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【即学即练3】3．上体育课时，老师在运动场上教同学们学习掷铅球，训练时，李力同学掷出的铅球在场地上砸出了一个坑口直径约为10cm，深约为2cm的小坑，则该铅球的直径约为（ ） A．20cm B．19.5cm C．14.5cm D．10cm 【答案】C 【分析】 根据垂径定理，构造直角三角形，小坑的直径就是圆中的弦长，小坑的深就是拱高，利用勾股定理，设出未知数，列出方程，即可求出铅球的直径． 【详解】 解：根据题意，画出图形如图所示， 由题意知，，，是半径，且， ， 设铅球的半径为，则， 在中，根据勾股定理，， 即， 解得：， 所以铅球的直径为：cm， 故选：C． 【即学即练4】4．如图，是某供水管道的截面图，里面尚有一些水，若液面宽度AB＝8cm，半径OC⊥