专题1.19 《探索三角形全等》几何模型-“手拉手”（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学上册基础知识专项讲练（苏科版）

专题1.19 《探索三角形全等》几何模型-“手拉手” （知识讲解） 图一 图二 图三 图四 图五 图六 图七 手拉手模型的定义： 定义：有两个顶角相等而且有公共顶点的等腰三角形开成的图形。 特别说明：其中图一、图二为两个基本图形----等腰三角形，图二至图七为手拉手的基本模型，（左手拉左手，右手拉右手） 3、 如右图：手拉手模型的重要结论： 结论1：（SAS） BC=(左手拉左手等于右手拉右手) 结论2：（利用三角形全等及顶角相等 的等腰三角形底角相等） 结论3：AO平分O（利用三角形全等面积相等，再利用角平分线性质定理证明） 典型例题讲练： 例题1．在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型” 兴趣小组进行了如下操究： （1）如图1、两个等腰三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE，连接BD、CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和△ADB全等的三角形是 ，此线BD和CE的数量关系是 （2）如图2、两个等腰直角三角形△ABC和△ADE中，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE=90°，连接BD，CE，两线交于点P，请判断线段BD和CE的数量关系和位置关系，并说明理由： （3）如图3，已知△ABC、请完成作图：以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE（等边三角形三条边相等，三个角都等于60°），连接BE，CD，两线交于点P，并直接写出线段BE和CD的数量关系及∠PBC+∠PCB的度数、 【答案】（1）△AEC，BD=CE；（2）BD=CE且BD⊥CE，理由见解析；（3）作图见解析，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°． 【分析】 （1）根据SAS证明两个三角形全等即可证明； （2）通过条件证明△DAB≌△EAC（SAS），得到∠DBC+∠ECB=90°，即可证明BD⊥CE，从而得到结果； （3）根据已知条件证明即可得到证明； 解：（1）∵AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠DAE， ∴， 即， ∴， ∴BD=CE； （2）BD=CE且BD⊥CE；理由如下：因为∠DAE=∠BAC=90°，如图2． 所以∠DAE+∠BAE=∠BAC+∠BAE． 所以∠DAB=∠EAC． 在△DAB和△EAC中， 所以△DAB≌△EAC（SAS）． 所以BD=CE，∠DBA=∠ECA． 因为∠ECA+∠ECB+∠ABC=90°， 所以∠DBA+∠ECB+∠ABC=90°． 即∠DBC+∠ECB=90°． 所以∠BPC=180°-（∠DBC+∠ECB）=90°． 所以BD⊥CE． 综上所述：BD=CE且BD⊥CE． （3）如图3所示，BE=CD，∠PBC+∠PCB=60°． 由图可知，AD=AB，AE=AC， ∴， 即， ∴， ∴BE=CD，， 又∵， ∴， ∴， ∴∠PBC+∠PCB=60°． 【点拨】本题主要考查了全等三角形的知识点应用，准确分析图形是解题的关键． 举一反三 变式1：如图，AC⊥BC，DC⊥EC，AC＝BC，DC＝EC，AE与BD交于点F． （1）求证：AE＝BD； （2）求∠AFD的度数． 【答案】（1）详情见解析；（2） 【分析】 （1）利用角的等量代换求出，再判断即可求解； （2）利用全等三角形的性质得到，再通过角的等量代换求解即可． 解：（1）∵， ∴ ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）设与的交点为，如图所示： ∵ ∴ ∵，，且 ∴ ∴ 【点拨】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，灵活运用角的等量代换是解题的关键． 例题2．已如：如图1，B，C，D三点在一条直线上，△ABC和△ECD均为等边三角形，连接BE，AD交于点F，BE交AC于点M，AD交CE于点N． （1）以下结论正确的有 ； ①AD=BE ②∠EFD=60° ③MC=NC ④∠AMB=∠END （2）探究：将图1中的△ECD绕点C顺时针旋转一个角度（旋转角小于60°），如图2所示． ①问：（1）中的正确结论哪些还成立？若成立，请说明理由； ②连接FC，如图3所示，求证：FC平分∠BF